Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
taylth.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℝ ) |
2 |
|
taylth.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ ) |
3 |
|
taylth.d |
⊢ ( 𝜑 → dom ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑁 ) = 𝐴 ) |
4 |
|
taylth.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
5 |
|
taylth.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴 ) |
6 |
|
taylth.t |
⊢ 𝑇 = ( 𝑁 ( ℝ Tayl 𝐹 ) 𝐵 ) |
7 |
|
taylth.r |
⊢ 𝑅 = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝑇 ‘ 𝑥 ) ) / ( ( 𝑥 − 𝐵 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
8 |
|
reelprrecn |
⊢ ℝ ∈ { ℝ , ℂ } |
9 |
8
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } ) |
10 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
11 |
|
fss |
⊢ ( ( 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ) |
12 |
1 10 11
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ) |
13 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 0 ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) / ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) limℂ 𝐵 ) ) ) → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℝ ) |
14 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 0 ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) / ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) limℂ 𝐵 ) ) ) → 𝐴 ⊆ ℝ ) |
15 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 0 ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) / ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) limℂ 𝐵 ) ) ) → dom ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑁 ) = 𝐴 ) |
16 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 0 ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) / ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) limℂ 𝐵 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
17 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 0 ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) / ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) limℂ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝐴 ) |
18 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 0 ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) / ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) limℂ 𝐵 ) ) ) → 𝑚 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ) |
19 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 0 ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) / ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) limℂ 𝐵 ) ) ) → 0 ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) / ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) limℂ 𝐵 ) ) |
20 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) = ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) |
21 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) = ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) |
22 |
20 21
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) = ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) ) |
23 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝐵 ) ) |
24 |
23
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) = ( ( 𝑥 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) |
25 |
22 24
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) / ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) = ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( 𝑥 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) |
26 |
25
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) / ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( 𝑥 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) |
27 |
26
|
oveq1i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) / ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) limℂ 𝐵 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( 𝑥 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) limℂ 𝐵 ) |
28 |
19 27
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 0 ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) / ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) limℂ 𝐵 ) ) ) → 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( 𝑥 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) limℂ 𝐵 ) ) |
29 |
13 14 15 16 17 6 18 28
|
taylthlem2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 1 ..^ 𝑁 ) ∧ 0 ∈ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − 𝑚 ) ) ‘ 𝑦 ) ) / ( ( 𝑦 − 𝐵 ) ↑ 𝑚 ) ) ) limℂ 𝐵 ) ) ) → 0 ∈ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 } ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − ( 𝑚 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) − ( ( ( ℂ D𝑛 𝑇 ) ‘ ( 𝑁 − ( 𝑚 + 1 ) ) ) ‘ 𝑥 ) ) / ( ( 𝑥 − 𝐵 ) ↑ ( 𝑚 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝐵 ) ) |
30 |
9 12 2 3 4 5 6 7 29
|
taylthlem1 |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 𝑅 limℂ 𝐵 ) ) |