Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tendoplcbv.p |
|- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) |
2 |
|
tendopl2.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
3 |
1 2
|
tendopl |
|- ( ( U e. E /\ V e. E ) -> ( U P V ) = ( g e. T |-> ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) ) |
4 |
3
|
3adant3 |
|- ( ( U e. E /\ V e. E /\ F e. T ) -> ( U P V ) = ( g e. T |-> ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) ) |
5 |
|
fveq2 |
|- ( g = F -> ( U ` g ) = ( U ` F ) ) |
6 |
|
fveq2 |
|- ( g = F -> ( V ` g ) = ( V ` F ) ) |
7 |
5 6
|
coeq12d |
|- ( g = F -> ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) = ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( ( U e. E /\ V e. E /\ F e. T ) /\ g = F ) -> ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) = ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) ) |
9 |
|
simp3 |
|- ( ( U e. E /\ V e. E /\ F e. T ) -> F e. T ) |
10 |
|
fvex |
|- ( U ` F ) e. _V |
11 |
|
fvex |
|- ( V ` F ) e. _V |
12 |
10 11
|
coex |
|- ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) e. _V |
13 |
12
|
a1i |
|- ( ( U e. E /\ V e. E /\ F e. T ) -> ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) e. _V ) |
14 |
4 8 9 13
|
fvmptd |
|- ( ( U e. E /\ V e. E /\ F e. T ) -> ( ( U P V ) ` F ) = ( ( U ` F ) o. ( V ` F ) ) ) |