Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tgpmulg.j |
|- J = ( TopOpen ` G ) |
2 |
|
tgpmulg.t |
|- .x. = ( .g ` G ) |
3 |
|
tgpmulg.b |
|- B = ( Base ` G ) |
4 |
|
tgptmd |
|- ( G e. TopGrp -> G e. TopMnd ) |
5 |
1 2 3
|
tmdmulg |
|- ( ( G e. TopMnd /\ N e. NN0 ) -> ( x e. B |-> ( N .x. x ) ) e. ( J Cn J ) ) |
6 |
4 5
|
sylan |
|- ( ( G e. TopGrp /\ N e. NN0 ) -> ( x e. B |-> ( N .x. x ) ) e. ( J Cn J ) ) |
7 |
6
|
adantlr |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ N e. NN0 ) -> ( x e. B |-> ( N .x. x ) ) e. ( J Cn J ) ) |
8 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ -u N e. NN ) /\ x e. B ) -> N e. ZZ ) |
9 |
8
|
zcnd |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ -u N e. NN ) /\ x e. B ) -> N e. CC ) |
10 |
9
|
negnegd |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ -u N e. NN ) /\ x e. B ) -> -u -u N = N ) |
11 |
10
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ -u N e. NN ) /\ x e. B ) -> ( -u -u N .x. x ) = ( N .x. x ) ) |
12 |
|
eqid |
|- ( invg ` G ) = ( invg ` G ) |
13 |
3 2 12
|
mulgnegnn |
|- ( ( -u N e. NN /\ x e. B ) -> ( -u -u N .x. x ) = ( ( invg ` G ) ` ( -u N .x. x ) ) ) |
14 |
13
|
adantll |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ -u N e. NN ) /\ x e. B ) -> ( -u -u N .x. x ) = ( ( invg ` G ) ` ( -u N .x. x ) ) ) |
15 |
11 14
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ -u N e. NN ) /\ x e. B ) -> ( N .x. x ) = ( ( invg ` G ) ` ( -u N .x. x ) ) ) |
16 |
15
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ -u N e. NN ) -> ( x e. B |-> ( N .x. x ) ) = ( x e. B |-> ( ( invg ` G ) ` ( -u N .x. x ) ) ) ) |
17 |
1 3
|
tgptopon |
|- ( G e. TopGrp -> J e. ( TopOn ` B ) ) |
18 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ -u N e. NN ) -> J e. ( TopOn ` B ) ) |
19 |
4
|
adantr |
|- ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) -> G e. TopMnd ) |
20 |
|
nnnn0 |
|- ( -u N e. NN -> -u N e. NN0 ) |
21 |
1 2 3
|
tmdmulg |
|- ( ( G e. TopMnd /\ -u N e. NN0 ) -> ( x e. B |-> ( -u N .x. x ) ) e. ( J Cn J ) ) |
22 |
19 20 21
|
syl2an |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ -u N e. NN ) -> ( x e. B |-> ( -u N .x. x ) ) e. ( J Cn J ) ) |
23 |
1 12
|
tgpinv |
|- ( G e. TopGrp -> ( invg ` G ) e. ( J Cn J ) ) |
24 |
23
|
ad2antrr |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ -u N e. NN ) -> ( invg ` G ) e. ( J Cn J ) ) |
25 |
18 22 24
|
cnmpt11f |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ -u N e. NN ) -> ( x e. B |-> ( ( invg ` G ) ` ( -u N .x. x ) ) ) e. ( J Cn J ) ) |
26 |
16 25
|
eqeltrd |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ -u N e. NN ) -> ( x e. B |-> ( N .x. x ) ) e. ( J Cn J ) ) |
27 |
26
|
adantrl |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) /\ ( N e. RR /\ -u N e. NN ) ) -> ( x e. B |-> ( N .x. x ) ) e. ( J Cn J ) ) |
28 |
|
simpr |
|- ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ ) |
29 |
|
elznn0nn |
|- ( N e. ZZ <-> ( N e. NN0 \/ ( N e. RR /\ -u N e. NN ) ) ) |
30 |
28 29
|
sylib |
|- ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) -> ( N e. NN0 \/ ( N e. RR /\ -u N e. NN ) ) ) |
31 |
7 27 30
|
mpjaodan |
|- ( ( G e. TopGrp /\ N e. ZZ ) -> ( x e. B |-> ( N .x. x ) ) e. ( J Cn J ) ) |