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Theorem vdwlem4

Description: Lemma for vdw . (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014)

Ref Expression
Hypotheses vdwlem3.v 
|- ( ph -> V e. NN )
vdwlem3.w 
|- ( ph -> W e. NN )
vdwlem4.r 
|- ( ph -> R e. Fin )
vdwlem4.h 
|- ( ph -> H : ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) --> R )
vdwlem4.f 
|- F = ( x e. ( 1 ... V ) |-> ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) ) ) )
Assertion vdwlem4 
|- ( ph -> F : ( 1 ... V ) --> ( R ^m ( 1 ... W ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 vdwlem3.v 
 |-  ( ph -> V e. NN )
2 vdwlem3.w 
 |-  ( ph -> W e. NN )
3 vdwlem4.r 
 |-  ( ph -> R e. Fin )
4 vdwlem4.h 
 |-  ( ph -> H : ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) --> R )
5 vdwlem4.f 
 |-  F = ( x e. ( 1 ... V ) |-> ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) ) ) )
6 4 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... V ) ) /\ y e. ( 1 ... W ) ) -> H : ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) --> R )
7 1 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... V ) ) /\ y e. ( 1 ... W ) ) -> V e. NN )
8 2 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... V ) ) /\ y e. ( 1 ... W ) ) -> W e. NN )
9 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... V ) ) /\ y e. ( 1 ... W ) ) -> x e. ( 1 ... V ) )
10 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... V ) ) /\ y e. ( 1 ... W ) ) -> y e. ( 1 ... W ) )
11 7 8 9 10 vdwlem3 
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... V ) ) /\ y e. ( 1 ... W ) ) -> ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) e. ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
12 6 11 ffvelrnd 
 |-  ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... V ) ) /\ y e. ( 1 ... W ) ) -> ( H ` ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) ) e. R )
13 12 fmpttd 
 |-  ( ( ph /\ x e. ( 1 ... V ) ) -> ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) ) ) : ( 1 ... W ) --> R )
14 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ x e. ( 1 ... V ) ) -> R e. Fin )
15 ovex 
 |-  ( 1 ... W ) e. _V
16 elmapg 
 |-  ( ( R e. Fin /\ ( 1 ... W ) e. _V ) -> ( ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) ) ) e. ( R ^m ( 1 ... W ) ) <-> ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) ) ) : ( 1 ... W ) --> R ) )
17 14 15 16 sylancl 
 |-  ( ( ph /\ x e. ( 1 ... V ) ) -> ( ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) ) ) e. ( R ^m ( 1 ... W ) ) <-> ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) ) ) : ( 1 ... W ) --> R ) )
18 13 17 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ x e. ( 1 ... V ) ) -> ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) ) ) e. ( R ^m ( 1 ... W ) ) )
19 18 5 fmptd 
 |-  ( ph -> F : ( 1 ... V ) --> ( R ^m ( 1 ... W ) ) )