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Theorem vonn0ioo

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval when the dimension of the space is nonzero. This is the first statement in Proposition 115G (d) of Fremlin1 p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021)

Ref Expression
Hypotheses vonn0ioo.x 
|- ( ph -> X e. Fin )
vonn0ioo.n 
|- ( ph -> X =/= (/) )
vonn0ioo.a 
|- ( ph -> A : X --> RR )
vonn0ioo.b 
|- ( ph -> B : X --> RR )
vonn0ioo.i 
|- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) )
Assertion vonn0ioo 
|- ( ph -> ( ( voln ` X ) ` I ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 vonn0ioo.x 
 |-  ( ph -> X e. Fin )
2 vonn0ioo.n 
 |-  ( ph -> X =/= (/) )
3 vonn0ioo.a 
 |-  ( ph -> A : X --> RR )
4 vonn0ioo.b 
 |-  ( ph -> B : X --> RR )
5 vonn0ioo.i 
 |-  I = X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) )
6 fveq2 
 |-  ( j = k -> ( a ` j ) = ( a ` k ) )
7 fveq2 
 |-  ( j = k -> ( b ` j ) = ( b ` k ) )
8 6 7 oveq12d 
 |-  ( j = k -> ( ( a ` j ) [,) ( b ` j ) ) = ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) )
9 8 fveq2d 
 |-  ( j = k -> ( vol ` ( ( a ` j ) [,) ( b ` j ) ) ) = ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) )
10 9 cbvprodv 
 |-  prod_ j e. x ( vol ` ( ( a ` j ) [,) ( b ` j ) ) ) = prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) )
11 ifeq2 
 |-  ( prod_ j e. x ( vol ` ( ( a ` j ) [,) ( b ` j ) ) ) = prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) -> if ( x = (/) , 0 , prod_ j e. x ( vol ` ( ( a ` j ) [,) ( b ` j ) ) ) ) = if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) )
12 10 11 ax-mp 
 |-  if ( x = (/) , 0 , prod_ j e. x ( vol ` ( ( a ` j ) [,) ( b ` j ) ) ) ) = if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) )
13 12 a1i 
 |-  ( ( a e. ( RR ^m x ) /\ b e. ( RR ^m x ) ) -> if ( x = (/) , 0 , prod_ j e. x ( vol ` ( ( a ` j ) [,) ( b ` j ) ) ) ) = if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) )
14 13 mpoeq3ia 
 |-  ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ j e. x ( vol ` ( ( a ` j ) [,) ( b ` j ) ) ) ) ) = ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) )
15 14 mpteq2i 
 |-  ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ j e. x ( vol ` ( ( a ` j ) [,) ( b ` j ) ) ) ) ) ) = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
16 1 3 4 5 15 vonioo 
 |-  ( ph -> ( ( voln ` X ) ` I ) = ( A ( ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ j e. x ( vol ` ( ( a ` j ) [,) ( b ` j ) ) ) ) ) ) ` X ) B ) )
17 15 fveq1i 
 |-  ( ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ j e. x ( vol ` ( ( a ` j ) [,) ( b ` j ) ) ) ) ) ) ` X ) = ( ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) ) ` X )
18 17 oveqi 
 |-  ( A ( ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ j e. x ( vol ` ( ( a ` j ) [,) ( b ` j ) ) ) ) ) ) ` X ) B ) = ( A ( ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) ) ` X ) B )
19 18 a1i 
 |-  ( ph -> ( A ( ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ j e. x ( vol ` ( ( a ` j ) [,) ( b ` j ) ) ) ) ) ) ` X ) B ) = ( A ( ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) ) ` X ) B ) )
20 16 19 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( ( voln ` X ) ` I ) = ( A ( ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) ) ` X ) B ) )
21 eqid 
 |-  ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) ) = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
22 21 1 2 3 4 hoidmvn0val 
 |-  ( ph -> ( A ( ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) ) ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
23 20 22 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( ( voln ` X ) ` I ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )