Theorem wl-equsal1i

Description: The antecedent x = y is irrelevant, if one or both setvar variables are not free in ph . (Contributed by Wolf Lammen, 1-Sep-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	wl-equsal1i.1	|- ( F/ x ph \/ F/ y ph )
	wl-equsal1i.2	|- ( x = y -> ph )
Assertion	wl-equsal1i	|- ph

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wl-equsal1i.1	|- ( F/ x ph \/ F/ y ph )
2		wl-equsal1i.2	|- ( x = y -> ph )
3	2	gen2	|- A. x A. y ( x = y -> ph )
4		sp	|- ( A. y A. x ( x = y -> ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) )
5	4	alcoms	|- ( A. x A. y ( x = y -> ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) )
6		wl-equsal1t	|- ( F/ x ph -> ( A. x ( x = y -> ph ) <-> ph ) )
7	5 6	imbitrid	|- ( F/ x ph -> ( A. x A. y ( x = y -> ph ) -> ph ) )
8		wl-equsalcom	|- ( A. y ( y = x -> ph ) <-> A. y ( x = y -> ph ) )
9		wl-equsal1t	|- ( F/ y ph -> ( A. y ( y = x -> ph ) <-> ph ) )
10	9	biimpd	|- ( F/ y ph -> ( A. y ( y = x -> ph ) -> ph ) )
11	8 10	biimtrrid	|- ( F/ y ph -> ( A. y ( x = y -> ph ) -> ph ) )
12	11	spsd	|- ( F/ y ph -> ( A. x A. y ( x = y -> ph ) -> ph ) )
13	7 12	jaoi	|- ( ( F/ x ph \/ F/ y ph ) -> ( A. x A. y ( x = y -> ph ) -> ph ) )
14	1 3 13	mp2	|- ph