Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xleadd1 |
|- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR ) -> ( B <_ A <-> ( B +e C ) <_ ( A +e C ) ) ) |
2 |
1
|
3com12 |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( B <_ A <-> ( B +e C ) <_ ( A +e C ) ) ) |
3 |
2
|
notbid |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( -. B <_ A <-> -. ( B +e C ) <_ ( A +e C ) ) ) |
4 |
|
xrltnle |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) ) |
5 |
4
|
3adant3 |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) ) |
6 |
|
simp1 |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> A e. RR* ) |
7 |
|
rexr |
|- ( C e. RR -> C e. RR* ) |
8 |
7
|
3ad2ant3 |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> C e. RR* ) |
9 |
|
xaddcl |
|- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* ) |
10 |
6 8 9
|
syl2anc |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A +e C ) e. RR* ) |
11 |
|
simp2 |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> B e. RR* ) |
12 |
|
xaddcl |
|- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* ) |
13 |
11 8 12
|
syl2anc |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( B +e C ) e. RR* ) |
14 |
|
xrltnle |
|- ( ( ( A +e C ) e. RR* /\ ( B +e C ) e. RR* ) -> ( ( A +e C ) < ( B +e C ) <-> -. ( B +e C ) <_ ( A +e C ) ) ) |
15 |
10 13 14
|
syl2anc |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( ( A +e C ) < ( B +e C ) <-> -. ( B +e C ) <_ ( A +e C ) ) ) |
16 |
3 5 15
|
3bitr4d |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( A +e C ) < ( B +e C ) ) ) |