Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xralrple4.a |
|- ( ph -> A e. RR* ) |
2 |
|
xralrple4.b |
|- ( ph -> B e. RR ) |
3 |
|
xralrple4.n |
|- ( ph -> N e. NN ) |
4 |
1
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> A e. RR* ) |
5 |
2
|
rexrd |
|- ( ph -> B e. RR* ) |
6 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR* ) |
7 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR ) |
8 |
|
rpre |
|- ( x e. RR+ -> x e. RR ) |
9 |
8
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR ) |
10 |
3
|
nnnn0d |
|- ( ph -> N e. NN0 ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> N e. NN0 ) |
12 |
9 11
|
reexpcld |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ N ) e. RR ) |
13 |
12
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ N ) e. RR ) |
14 |
7 13
|
readdcld |
|- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> ( B + ( x ^ N ) ) e. RR ) |
15 |
14
|
rexrd |
|- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> ( B + ( x ^ N ) ) e. RR* ) |
16 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> A <_ B ) |
17 |
|
rpge0 |
|- ( x e. RR+ -> 0 <_ x ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ x ) |
19 |
9 11 18
|
expge0d |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ ( x ^ N ) ) |
20 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> B e. RR ) |
21 |
20 12
|
addge01d |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 0 <_ ( x ^ N ) <-> B <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) ) |
22 |
19 21
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> B <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) |
23 |
22
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) |
24 |
4 6 15 16 23
|
xrletrd |
|- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) |
25 |
24
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) |
26 |
25
|
ex |
|- ( ph -> ( A <_ B -> A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) ) |
27 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ ) |
28 |
3
|
nnrpd |
|- ( ph -> N e. RR+ ) |
29 |
28
|
rpreccld |
|- ( ph -> ( 1 / N ) e. RR+ ) |
30 |
29
|
rpred |
|- ( ph -> ( 1 / N ) e. RR ) |
31 |
30
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( 1 / N ) e. RR ) |
32 |
27 31
|
rpcxpcld |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( y ^c ( 1 / N ) ) e. RR+ ) |
33 |
32
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( y ^c ( 1 / N ) ) e. RR+ ) |
34 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) |
35 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( y ^c ( 1 / N ) ) -> ( x ^ N ) = ( ( y ^c ( 1 / N ) ) ^ N ) ) |
36 |
35
|
oveq2d |
|- ( x = ( y ^c ( 1 / N ) ) -> ( B + ( x ^ N ) ) = ( B + ( ( y ^c ( 1 / N ) ) ^ N ) ) ) |
37 |
36
|
breq2d |
|- ( x = ( y ^c ( 1 / N ) ) -> ( A <_ ( B + ( x ^ N ) ) <-> A <_ ( B + ( ( y ^c ( 1 / N ) ) ^ N ) ) ) ) |
38 |
37
|
rspcva |
|- ( ( ( y ^c ( 1 / N ) ) e. RR+ /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) -> A <_ ( B + ( ( y ^c ( 1 / N ) ) ^ N ) ) ) |
39 |
33 34 38
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> A <_ ( B + ( ( y ^c ( 1 / N ) ) ^ N ) ) ) |
40 |
27
|
rpcnd |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. CC ) |
41 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> N e. NN ) |
42 |
|
cxproot |
|- ( ( y e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( y ^c ( 1 / N ) ) ^ N ) = y ) |
43 |
40 41 42
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( y ^c ( 1 / N ) ) ^ N ) = y ) |
44 |
43
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( B + ( ( y ^c ( 1 / N ) ) ^ N ) ) = ( B + y ) ) |
45 |
44
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( B + ( ( y ^c ( 1 / N ) ) ^ N ) ) = ( B + y ) ) |
46 |
39 45
|
breqtrd |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> A <_ ( B + y ) ) |
47 |
46
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) -> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) ) |
48 |
|
xralrple |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) ) ) |
49 |
1 2 48
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( A <_ B <-> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) ) ) |
50 |
49
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) -> ( A <_ B <-> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) ) ) |
51 |
47 50
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) -> A <_ B ) |
52 |
51
|
ex |
|- ( ph -> ( A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) -> A <_ B ) ) |
53 |
26 52
|
impbid |
|- ( ph -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + ( x ^ N ) ) ) ) |