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Theorem xrsupss

Description: Any subset of extended reals has a supremum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005)

Ref Expression
Assertion xrsupss 
|- ( A C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 xrsupsslem 
 |-  ( ( A C_ RR* /\ ( A C_ RR \/ +oo e. A ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
2 ssdifss 
 |-  ( A C_ RR* -> ( A \ { -oo } ) C_ RR* )
3 ssxr 
 |-  ( ( A \ { -oo } ) C_ RR* -> ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
4 df-3or 
 |-  ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) <-> ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
5 neldifsn 
 |-  -. -oo e. ( A \ { -oo } )
6 5 biorfi 
 |-  ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) <-> ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
7 4 6 bitr4i 
 |-  ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) \/ -oo e. ( A \ { -oo } ) ) <-> ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
8 3 7 sylib 
 |-  ( ( A \ { -oo } ) C_ RR* -> ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) )
9 xrsupsslem 
 |-  ( ( ( A \ { -oo } ) C_ RR* /\ ( ( A \ { -oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { -oo } ) ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) )
10 2 8 9 syl2anc2 
 |-  ( A C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) )
11 xrsupexmnf 
 |-  ( E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) )
12 snssi 
 |-  ( -oo e. A -> { -oo } C_ A )
13 undif 
 |-  ( { -oo } C_ A <-> ( { -oo } u. ( A \ { -oo } ) ) = A )
14 uncom 
 |-  ( { -oo } u. ( A \ { -oo } ) ) = ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } )
15 14 eqeq1i 
 |-  ( ( { -oo } u. ( A \ { -oo } ) ) = A <-> ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A )
16 13 15 bitri 
 |-  ( { -oo } C_ A <-> ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A )
17 raleq 
 |-  ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y <-> A. y e. A -. x < y ) )
18 rexeq 
 |-  ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z <-> E. z e. A y < z ) )
19 18 imbi2d 
 |-  ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) <-> ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
20 19 ralbidv 
 |-  ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) <-> A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
21 17 20 anbi12d 
 |-  ( ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) = A -> ( ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
22 16 21 sylbi 
 |-  ( { -oo } C_ A -> ( ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
23 12 22 syl 
 |-  ( -oo e. A -> ( ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
24 23 rexbidv 
 |-  ( -oo e. A -> ( E. x e. RR* ( A. y e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( ( A \ { -oo } ) u. { -oo } ) y < z ) ) <-> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
25 11 24 syl5ib 
 |-  ( -oo e. A -> ( E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { -oo } ) -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. ( A \ { -oo } ) y < z ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
26 10 25 mpan9 
 |-  ( ( A C_ RR* /\ -oo e. A ) -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
27 ssxr 
 |-  ( A C_ RR* -> ( A C_ RR \/ +oo e. A \/ -oo e. A ) )
28 df-3or 
 |-  ( ( A C_ RR \/ +oo e. A \/ -oo e. A ) <-> ( ( A C_ RR \/ +oo e. A ) \/ -oo e. A ) )
29 27 28 sylib 
 |-  ( A C_ RR* -> ( ( A C_ RR \/ +oo e. A ) \/ -oo e. A ) )
30 1 26 29 mpjaodan 
 |-  ( A C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR* ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )