Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
zcn |
|- ( N e. ZZ -> N e. CC ) |
2 |
|
pncan |
|- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M + N ) - N ) = M ) |
3 |
1 2
|
sylan2 |
|- ( ( M e. CC /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) = M ) |
4 |
3
|
ancoms |
|- ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) -> ( ( M + N ) - N ) = M ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) = M ) |
6 |
|
zsubcl |
|- ( ( ( M + N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) e. ZZ ) |
7 |
6
|
ancoms |
|- ( ( N e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) e. ZZ ) |
8 |
7
|
adantlr |
|- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) e. ZZ ) |
9 |
5 8
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> M e. ZZ ) |
10 |
9
|
ex |
|- ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) -> ( ( M + N ) e. ZZ -> M e. ZZ ) ) |
11 |
|
zaddcl |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ ) |
12 |
11
|
expcom |
|- ( N e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) ) |
13 |
12
|
adantr |
|- ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) -> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) ) |
14 |
10 13
|
impbid |
|- ( ( N e. ZZ /\ M e. CC ) -> ( ( M + N ) e. ZZ <-> M e. ZZ ) ) |
15 |
14
|
pm5.32da |
|- ( N e. ZZ -> ( ( M e. CC /\ ( M + N ) e. ZZ ) <-> ( M e. CC /\ M e. ZZ ) ) ) |
16 |
|
zcn |
|- ( M e. ZZ -> M e. CC ) |
17 |
16
|
pm4.71ri |
|- ( M e. ZZ <-> ( M e. CC /\ M e. ZZ ) ) |
18 |
15 17
|
bitr4di |
|- ( N e. ZZ -> ( ( M e. CC /\ ( M + N ) e. ZZ ) <-> M e. ZZ ) ) |