Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
2 |
|
pncan |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) = 𝑀 ) |
3 |
1 2
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) = 𝑀 ) |
4 |
3
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) = 𝑀 ) |
5 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) = 𝑀 ) |
6 |
|
zsubcl |
⊢ ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
7 |
6
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
8 |
7
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
9 |
5 8
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
10 |
9
|
ex |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ ) ) |
11 |
|
zaddcl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
12 |
11
|
expcom |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) ) |
13 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) → ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) ) |
14 |
10 13
|
impbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ ℤ ) ) |
15 |
14
|
pm5.32da |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) ↔ ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ) ) |
16 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
17 |
16
|
pm4.71ri |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ ↔ ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ) |
18 |
15 17
|
bitr4di |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) ↔ 𝑀 ∈ ℤ ) ) |