cdlemk6u

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Apply dalaw . (Contributed by NM, 4-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk1.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
	cdlemk1.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
	cdlemk1.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
	cdlemk1.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
	cdlemk1.a	$⊢ A = Atoms (K)$
	cdlemk1.h	$⊢ H = LHyp (K)$
	cdlemk1.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
	cdlemk1.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
	cdlemk1.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
	cdlemk1.o	$⊢ O = S (D)$
Assertion	cdlemk6u	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to ((P \underset{˙}{\lor} G (P)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} (((G (P) \underset{˙}{\lor} X (P)) \underset{˙}{\land} (R (G \circ D^{-1}) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\lor} ((X (P) \underset{˙}{\lor} P) \underset{˙}{\land} (R (X \circ D^{-1}) \underset{˙}{\lor} O (P))))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk1.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
2		cdlemk1.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
3		cdlemk1.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
4		cdlemk1.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
5		cdlemk1.a	$⊢ A = Atoms (K)$
6		cdlemk1.h	$⊢ H = LHyp (K)$
7		cdlemk1.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
8		cdlemk1.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
9		cdlemk1.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
10		cdlemk1.o	$⊢ O = S (D)$
11	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdlemk5u	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to ((P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} (X (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1}))$
12		simp11l	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to K \in HL$
13		simp22l	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to P \in A$
14		simp11	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (K \in HL \land W \in H)$
15		simp212	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to G \in T$
16	2 5 6 7	ltrnat	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land G \in T \land P \in A) \to G (P) \in A$
17	14 15 13 16	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to G (P) \in A$
18		simp213	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to X \in T$
19	2 5 6 7	ltrnat	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land X \in T \land P \in A) \to X (P) \in A$
20	14 18 13 19	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to X (P) \in A$
21		simp1	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to ((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T)$
22		simp211	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to N \in T$
23		simp22	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W)$
24		simp23	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (F) = R (N)$
25		simp3l1	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to F \neq {I ↾}_{B}$
26		simp3l2	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to D \neq {I ↾}_{B}$
27		simp3r1	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (D) \neq R (F)$
28	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdlemkoatnle	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to (O (P) \in A \land \neg O (P) \underset{˙}{\leq} W)$
29	28	simpld	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to O (P) \in A$
30	21 22 23 24 25 26 27 29	syl133anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to O (P) \in A$
31		simp13	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to D \in T$
32		simp3r2	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (G) \neq R (D)$
33	5 6 7 8	trlcocnvat	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land (G \in T \land D \in T) \land R (G) \neq R (D)) \to R (G \circ D^{-1}) \in A$
34	14 15 31 32 33	syl121anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (G \circ D^{-1}) \in A$
35		simp3r3	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (X) \neq R (D)$
36	5 6 7 8	trlcocnvat	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land (X \in T \land D \in T) \land R (X) \neq R (D)) \to R (X \circ D^{-1}) \in A$
37	14 18 31 35 36	syl121anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (X \circ D^{-1}) \in A$
38	2 3 4 5	dalaw	$⊢ (K \in HL \land (P \in A \land G (P) \in A \land X (P) \in A) \land (O (P) \in A \land R (G \circ D^{-1}) \in A \land R (X \circ D^{-1}) \in A)) \to (((P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} (X (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1})) \to ((P \underset{˙}{\lor} G (P)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} (((G (P) \underset{˙}{\lor} X (P)) \underset{˙}{\land} (R (G \circ D^{-1}) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\lor} ((X (P) \underset{˙}{\lor} P) \underset{˙}{\land} (R (X \circ D^{-1}) \underset{˙}{\lor} O (P)))))$
39	12 13 17 20 30 34 37 38	syl133anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (((P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} (X (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1})) \to ((P \underset{˙}{\lor} G (P)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} (((G (P) \underset{˙}{\lor} X (P)) \underset{˙}{\land} (R (G \circ D^{-1}) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\lor} ((X (P) \underset{˙}{\lor} P) \underset{˙}{\land} (R (X \circ D^{-1}) \underset{˙}{\lor} O (P)))))$
40	11 39	mpd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to ((P \underset{˙}{\lor} G (P)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} (((G (P) \underset{˙}{\lor} X (P)) \underset{˙}{\land} (R (G \circ D^{-1}) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\lor} ((X (P) \underset{˙}{\lor} P) \underset{˙}{\land} (R (X \circ D^{-1}) \underset{˙}{\lor} O (P))))$

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