cdlemk5u

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 4-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk1.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
	cdlemk1.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
	cdlemk1.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
	cdlemk1.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
	cdlemk1.a	$⊢ A = Atoms (K)$
	cdlemk1.h	$⊢ H = LHyp (K)$
	cdlemk1.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
	cdlemk1.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
	cdlemk1.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
	cdlemk1.o	$⊢ O = S (D)$
Assertion	cdlemk5u	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to ((P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} (X (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1}))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk1.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
2		cdlemk1.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
3		cdlemk1.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
4		cdlemk1.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
5		cdlemk1.a	$⊢ A = Atoms (K)$
6		cdlemk1.h	$⊢ H = LHyp (K)$
7		cdlemk1.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
8		cdlemk1.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
9		cdlemk1.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
10		cdlemk1.o	$⊢ O = S (D)$
11		simp11l	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to K \in HL$
12	11	hllatd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to K \in Lat$
13		simp22l	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to P \in A$
14		simp1	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to ((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T)$
15		simp211	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to N \in T$
16		simp22	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W)$
17		simp23	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (F) = R (N)$
18	15 16 17	3jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N))$
19		simp3l1	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to F \neq {I ↾}_{B}$
20		simp3l2	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to D \neq {I ↾}_{B}$
21		simp3r1	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (D) \neq R (F)$
22	19 20 21	3jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))$
23	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdlemkoatnle	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to (O (P) \in A \land \neg O (P) \underset{˙}{\leq} W)$
24	23	simpld	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to O (P) \in A$
25	14 18 22 24	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to O (P) \in A$
26	1 3 5	hlatjcl	$⊢ (K \in HL \land P \in A \land O (P) \in A) \to P \underset{˙}{\lor} O (P) \in B$
27	11 13 25 26	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to P \underset{˙}{\lor} O (P) \in B$
28		simp11	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (K \in HL \land W \in H)$
29		simp212	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to G \in T$
30	2 5 6 7	ltrnat	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land G \in T \land P \in A) \to G (P) \in A$
31	28 29 13 30	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to G (P) \in A$
32		simp13	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to D \in T$
33		simp3r2	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (G) \neq R (D)$
34	5 6 7 8	trlcocnvat	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land (G \in T \land D \in T) \land R (G) \neq R (D)) \to R (G \circ D^{-1}) \in A$
35	28 29 32 33 34	syl121anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (G \circ D^{-1}) \in A$
36	1 3 5	hlatjcl	$⊢ (K \in HL \land G (P) \in A \land R (G \circ D^{-1}) \in A) \to G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}) \in B$
37	11 31 35 36	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}) \in B$
38	1 4	latmcl	$⊢ (K \in Lat \land P \underset{˙}{\lor} O (P) \in B \land G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}) \in B) \to (P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1})) \in B$
39	12 27 37 38	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1})) \in B$
40	2 5 6 7	ltrnat	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land D \in T \land P \in A) \to D (P) \in A$
41	28 32 13 40	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to D (P) \in A$
42	1 5 6 7 8	trlnidat	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land D \in T \land D \neq {I ↾}_{B}) \to R (D) \in A$
43	28 32 20 42	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (D) \in A$
44	1 3 5	hlatjcl	$⊢ (K \in HL \land D (P) \in A \land R (D) \in A) \to D (P) \underset{˙}{\lor} R (D) \in B$
45	11 41 43 44	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to D (P) \underset{˙}{\lor} R (D) \in B$
46	1 3 5	hlatjcl	$⊢ (K \in HL \land D (P) \in A \land R (G \circ D^{-1}) \in A) \to D (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}) \in B$
47	11 41 35 46	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to D (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}) \in B$
48	1 4	latmcl	$⊢ (K \in Lat \land D (P) \underset{˙}{\lor} R (D) \in B \land D (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}) \in B) \to (D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)) \underset{˙}{\land} (D (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1})) \in B$
49	12 45 47 48	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)) \underset{˙}{\land} (D (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1})) \in B$
50		simp213	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to X \in T$
51	2 5 6 7	ltrnat	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land X \in T \land P \in A) \to X (P) \in A$
52	28 50 13 51	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to X (P) \in A$
53		simp3r3	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (X) \neq R (D)$
54	5 6 7 8	trlcocnvat	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land (X \in T \land D \in T) \land R (X) \neq R (D)) \to R (X \circ D^{-1}) \in A$
55	28 50 32 53 54	syl121anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to R (X \circ D^{-1}) \in A$
56	1 3 5	hlatjcl	$⊢ (K \in HL \land X (P) \in A \land R (X \circ D^{-1}) \in A) \to X (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1}) \in B$
57	11 52 55 56	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to X (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1}) \in B$
58	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdlemk1u	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to (P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\leq} (D (P) \underset{˙}{\lor} R (D))$
59	14 18 22 58	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\leq} (D (P) \underset{˙}{\lor} R (D))$
60	1 2 4	latmlem1	$⊢ (K \in Lat \land (P \underset{˙}{\lor} O (P) \in B \land D (P) \underset{˙}{\lor} R (D) \in B \land G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}) \in B)) \to ((P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\leq} (D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)) \to ((P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} ((D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))))$
61	12 27 45 37 60	syl13anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to ((P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\leq} (D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)) \to ((P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} ((D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))))$
62	59 61	mpd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to ((P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} ((D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1})))$
63		simp11r	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to W \in H$
64	1 2 3 5 6 7 8	cdlemk2	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land (D \in T \land G \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W)) \to G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}) = D (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1})$
65	11 63 32 29 16 64	syl221anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}) = D (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1})$
66	65	oveq2d	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1})) = (D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)) \underset{˙}{\land} (D (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))$
67	62 66	breqtrd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to ((P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} ((D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)) \underset{˙}{\land} (D (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1})))$
68		simp3l3	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to G \neq {I ↾}_{B}$
69	20 68	jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to (D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B})$
70	1 2 3 5 6 7 8 4	cdlemk5a	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land (D \in T \land G \in T \land X \in T) \land (R (G) \neq R (D) \land (D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to ((D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)) \underset{˙}{\land} (D (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} (X (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1}))$
71	11 63 32 29 50 33 69 16 70	syl233anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to ((D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)) \underset{˙}{\land} (D (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} (X (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1}))$
72	1 2 12 39 49 57 67 71	lattrd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land ((N \in T \land G \in T \land X \in T) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land ((F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B}) \land (R (D) \neq R (F) \land R (G) \neq R (D) \land R (X) \neq R (D)))) \to ((P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\land} (G (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} (X (P) \underset{˙}{\lor} R (X \circ D^{-1}))$

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Theorem cdlemk5u

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