cdlemk1u

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 3-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk1.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
	cdlemk1.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
	cdlemk1.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
	cdlemk1.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
	cdlemk1.a	$⊢ A = Atoms (K)$
	cdlemk1.h	$⊢ H = LHyp (K)$
	cdlemk1.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
	cdlemk1.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
	cdlemk1.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
	cdlemk1.o	$⊢ O = S (D)$
Assertion	cdlemk1u	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to (P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\leq} (D (P) \underset{˙}{\lor} R (D))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk1.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
2		cdlemk1.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
3		cdlemk1.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
4		cdlemk1.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
5		cdlemk1.a	$⊢ A = Atoms (K)$
6		cdlemk1.h	$⊢ H = LHyp (K)$
7		cdlemk1.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
8		cdlemk1.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
9		cdlemk1.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
10		cdlemk1.o	$⊢ O = S (D)$
11		simp11l	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to K \in HL$
12		simp22l	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to P \in A$
13		simp11	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to (K \in HL \land W \in H)$
14		simp13	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to D \in T$
15		simp32	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to D \neq {I ↾}_{B}$
16	1 5 6 7 8	trlnidat	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land D \in T \land D \neq {I ↾}_{B}) \to R (D) \in A$
17	13 14 15 16	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to R (D) \in A$
18	2 3 5	hlatlej1	$⊢ (K \in HL \land P \in A \land R (D) \in A) \to P \underset{˙}{\leq} (P \underset{˙}{\lor} R (D))$
19	11 12 17 18	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to P \underset{˙}{\leq} (P \underset{˙}{\lor} R (D))$
20	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdlemkole	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to O (P) \underset{˙}{\leq} (P \underset{˙}{\lor} R (D))$
21	11	hllatd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to K \in Lat$
22	1 5	atbase	$⊢ P \in A \to P \in B$
23	12 22	syl	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to P \in B$
24	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdlemkoatnle	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to (O (P) \in A \land \neg O (P) \underset{˙}{\leq} W)$
25	24	simpld	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to O (P) \in A$
26	1 5	atbase	$⊢ O (P) \in A \to O (P) \in B$
27	25 26	syl	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to O (P) \in B$
28	1 3 5	hlatjcl	$⊢ (K \in HL \land P \in A \land R (D) \in A) \to P \underset{˙}{\lor} R (D) \in B$
29	11 12 17 28	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to P \underset{˙}{\lor} R (D) \in B$
30	1 2 3	latjle12	$⊢ (K \in Lat \land (P \in B \land O (P) \in B \land P \underset{˙}{\lor} R (D) \in B)) \to ((P \underset{˙}{\leq} (P \underset{˙}{\lor} R (D)) \land O (P) \underset{˙}{\leq} (P \underset{˙}{\lor} R (D))) \leftrightarrow (P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\leq} (P \underset{˙}{\lor} R (D)))$
31	21 23 27 29 30	syl13anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to ((P \underset{˙}{\leq} (P \underset{˙}{\lor} R (D)) \land O (P) \underset{˙}{\leq} (P \underset{˙}{\lor} R (D))) \leftrightarrow (P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\leq} (P \underset{˙}{\lor} R (D)))$
32	19 20 31	mpbi2and	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to (P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\leq} (P \underset{˙}{\lor} R (D))$
33		simp22	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W)$
34	2 3 5 6 7 8	trljat3	$⊢ ((K \in HL \land W \in H) \land D \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W)) \to P \underset{˙}{\lor} R (D) = D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)$
35	13 14 33 34	syl3anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to P \underset{˙}{\lor} R (D) = D (P) \underset{˙}{\lor} R (D)$
36	32 35	breqtrd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to (P \underset{˙}{\lor} O (P)) \underset{˙}{\leq} (D (P) \underset{˙}{\lor} R (D))$

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Theorem cdlemk1u

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