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Theorem domnmuln0

Description: In a domain, a product of nonzero elements is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015)

Ref Expression
Hypotheses domneq0.b B = Base R
domneq0.t · ˙ = R
domneq0.z 0 ˙ = 0 R
Assertion domnmuln0 R Domn X B X 0 ˙ Y B Y 0 ˙ X · ˙ Y 0 ˙

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 domneq0.b B = Base R
2 domneq0.t · ˙ = R
3 domneq0.z 0 ˙ = 0 R
4 an4 X B X 0 ˙ Y B Y 0 ˙ X B Y B X 0 ˙ Y 0 ˙
5 neanior X 0 ˙ Y 0 ˙ ¬ X = 0 ˙ Y = 0 ˙
6 1 2 3 domneq0 R Domn X B Y B X · ˙ Y = 0 ˙ X = 0 ˙ Y = 0 ˙
7 6 3expb R Domn X B Y B X · ˙ Y = 0 ˙ X = 0 ˙ Y = 0 ˙
8 7 necon3abid R Domn X B Y B X · ˙ Y 0 ˙ ¬ X = 0 ˙ Y = 0 ˙
9 5 8 bitr4id R Domn X B Y B X 0 ˙ Y 0 ˙ X · ˙ Y 0 ˙
10 9 biimpd R Domn X B Y B X 0 ˙ Y 0 ˙ X · ˙ Y 0 ˙
11 10 expimpd R Domn X B Y B X 0 ˙ Y 0 ˙ X · ˙ Y 0 ˙
12 4 11 syl5bi R Domn X B X 0 ˙ Y B Y 0 ˙ X · ˙ Y 0 ˙
13 12 3impib R Domn X B X 0 ˙ Y B Y 0 ˙ X · ˙ Y 0 ˙