lnrot2

Description: Rotating the points defining a line. Part of Theorem 4.11 of Schwabhauser p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019)

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnlng1.p	$⊢ P = {Base}_{G}$
2		btwnlng1.i	$⊢ I = Itv (G)$
3		btwnlng1.l	$⊢ L = {Line}_{𝒢} (G)$
4		btwnlng1.g	$⊢ φ \to G \in 𝒢_{Tarski}$
5		btwnlng1.x	$⊢ φ \to X \in P$
6		btwnlng1.y	$⊢ φ \to Y \in P$
7		btwnlng1.z	$⊢ φ \to Z \in P$
8		btwnlng1.d	$⊢ φ \to X \neq Y$
9		lnrot2.1	$⊢ φ \to X \in (Y L Z)$
10		lnrot2.2	$⊢ φ \to Y \neq Z$
11		eqid	$⊢ dist (G) = dist (G)$
12	1 11 2 4 6 5 7	tgbtwncomb	$⊢ φ \to (X \in (Y I Z) \leftrightarrow X \in (Z I Y))$
13		biidd	$⊢ φ \to (Y \in (X I Z) \leftrightarrow Y \in (X I Z))$
14	1 11 2 4 6 7 5	tgbtwncomb	$⊢ φ \to (Z \in (Y I X) \leftrightarrow Z \in (X I Y))$
15	12 13 14	3orbi123d	$⊢ φ \to ((X \in (Y I Z) \lor Y \in (X I Z) \lor Z \in (Y I X)) \leftrightarrow (X \in (Z I Y) \lor Y \in (X I Z) \lor Z \in (X I Y)))$
16		3orrot	$⊢ (Z \in (X I Y) \lor X \in (Z I Y) \lor Y \in (X I Z)) \leftrightarrow (X \in (Z I Y) \lor Y \in (X I Z) \lor Z \in (X I Y))$
17	15 16	bitr4di	$⊢ φ \to ((X \in (Y I Z) \lor Y \in (X I Z) \lor Z \in (Y I X)) \leftrightarrow (Z \in (X I Y) \lor X \in (Z I Y) \lor Y \in (X I Z)))$
18	1 3 2 4 6 7 10 5	tgellng	$⊢ φ \to (X \in (Y L Z) \leftrightarrow (X \in (Y I Z) \lor Y \in (X I Z) \lor Z \in (Y I X)))$
19	1 3 2 4 5 6 8 7	tgellng	$⊢ φ \to (Z \in (X L Y) \leftrightarrow (Z \in (X I Y) \lor X \in (Z I Y) \lor Y \in (X I Z)))$
20	17 18 19	3bitr4d	$⊢ φ \to (X \in (Y L Z) \leftrightarrow Z \in (X L Y))$
21	9 20	mpbid	$⊢ φ \to Z \in (X L Y)$

Metamath Proof Explorer