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Theorem rrx2plord2

Description: The lexicographical ordering for points in the two dimensional Euclidean plane: if the first coordinates of two points are equal, a point is less than another point iff the second coordinate of the point is less than the second coordinate of the other point. (Contributed by AV, 12-Mar-2023)

Ref Expression
Hypotheses rrx2plord.o O = x y | x R y R x 1 < y 1 x 1 = y 1 x 2 < y 2
rrx2plord2.r R = 1 2
Assertion rrx2plord2 X R Y R X 1 = Y 1 X O Y X 2 < Y 2

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rrx2plord.o O = x y | x R y R x 1 < y 1 x 1 = y 1 x 2 < y 2
2 rrx2plord2.r R = 1 2
3 1 rrx2plord X R Y R X O Y X 1 < Y 1 X 1 = Y 1 X 2 < Y 2
4 3 3adant3 X R Y R X 1 = Y 1 X O Y X 1 < Y 1 X 1 = Y 1 X 2 < Y 2
5 eqid 1 2 = 1 2
6 5 2 rrx2pxel X R X 1
7 6 adantr X R Y R X 1
8 ltne X 1 X 1 < Y 1 Y 1 X 1
9 8 necomd X 1 X 1 < Y 1 X 1 Y 1
10 7 9 sylan X R Y R X 1 < Y 1 X 1 Y 1
11 10 ex X R Y R X 1 < Y 1 X 1 Y 1
12 eqneqall X 1 = Y 1 X 1 Y 1 X 2 < Y 2
13 11 12 syl9 X R Y R X 1 = Y 1 X 1 < Y 1 X 2 < Y 2
14 13 3impia X R Y R X 1 = Y 1 X 1 < Y 1 X 2 < Y 2
15 14 com12 X 1 < Y 1 X R Y R X 1 = Y 1 X 2 < Y 2
16 simpr X 1 = Y 1 X 2 < Y 2 X 2 < Y 2
17 16 a1d X 1 = Y 1 X 2 < Y 2 X R Y R X 1 = Y 1 X 2 < Y 2
18 15 17 jaoi X 1 < Y 1 X 1 = Y 1 X 2 < Y 2 X R Y R X 1 = Y 1 X 2 < Y 2
19 18 com12 X R Y R X 1 = Y 1 X 1 < Y 1 X 1 = Y 1 X 2 < Y 2 X 2 < Y 2
20 olc X 1 = Y 1 X 2 < Y 2 X 1 < Y 1 X 1 = Y 1 X 2 < Y 2
21 20 ex X 1 = Y 1 X 2 < Y 2 X 1 < Y 1 X 1 = Y 1 X 2 < Y 2
22 21 3ad2ant3 X R Y R X 1 = Y 1 X 2 < Y 2 X 1 < Y 1 X 1 = Y 1 X 2 < Y 2
23 19 22 impbid X R Y R X 1 = Y 1 X 1 < Y 1 X 1 = Y 1 X 2 < Y 2 X 2 < Y 2
24 4 23 bitrd X R Y R X 1 = Y 1 X O Y X 2 < Y 2