Theorem xrleloe

Description: 'Less than or equal' expressed in terms of 'less than' or 'equals', for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006)

	Ref	Expression
Assertion	xrleloe	$$⊢\left(A\in {ℝ}^{*}\wedge B\in {ℝ}^{*}\right)\to \left(A\le B\leftrightarrow \left(A<B\vee A=B\right)\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt	$$⊢\left(A\in {ℝ}^{*}\wedge B\in {ℝ}^{*}\right)\to \left(A\le B\leftrightarrow \neg B<A\right)$$
2		xrlttri	$$⊢\left(B\in {ℝ}^{*}\wedge A\in {ℝ}^{*}\right)\to \left(B<A\leftrightarrow \neg \left(B=A\vee A<B\right)\right)$$
3	2	ancoms	$$⊢\left(A\in {ℝ}^{*}\wedge B\in {ℝ}^{*}\right)\to \left(B<A\leftrightarrow \neg \left(B=A\vee A<B\right)\right)$$
4	3	con2bid	$$⊢\left(A\in {ℝ}^{*}\wedge B\in {ℝ}^{*}\right)\to \left(\left(B=A\vee A<B\right)\leftrightarrow \neg B<A\right)$$
5		eqcom	$$⊢B=A\leftrightarrow A=B$$
6	5	orbi1i	$$⊢\left(B=A\vee A<B\right)\leftrightarrow \left(A=B\vee A<B\right)$$
7		orcom	$$⊢\left(A=B\vee A<B\right)\leftrightarrow \left(A<B\vee A=B\right)$$
8	6 7	bitri	$$⊢\left(B=A\vee A<B\right)\leftrightarrow \left(A<B\vee A=B\right)$$
9	4 8	bitr3di	$$⊢\left(A\in {ℝ}^{*}\wedge B\in {ℝ}^{*}\right)\to \left(\neg B<A\leftrightarrow \left(A<B\vee A=B\right)\right)$$
10	1 9	bitrd	$$⊢\left(A\in {ℝ}^{*}\wedge B\in {ℝ}^{*}\right)\to \left(A\le B\leftrightarrow \left(A<B\vee A=B\right)\right)$$