Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
0nn0 |
⊢ 0 ∈ ℕ0 |
2 |
|
fzo0 |
⊢ ( 0 ..^ 0 ) = ∅ |
3 |
2
|
eqcomi |
⊢ ∅ = ( 0 ..^ 0 ) |
4 |
3
|
naryfvalel |
⊢ ( ( 0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐹 ∈ ( 0 -aryF 𝑋 ) ↔ 𝐹 : ( 𝑋 ↑m ∅ ) ⟶ 𝑋 ) ) |
5 |
1 4
|
mpan |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( 𝐹 ∈ ( 0 -aryF 𝑋 ) ↔ 𝐹 : ( 𝑋 ↑m ∅ ) ⟶ 𝑋 ) ) |
6 |
|
mapdm0 |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( 𝑋 ↑m ∅ ) = { ∅ } ) |
7 |
6
|
feq2d |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( 𝐹 : ( 𝑋 ↑m ∅ ) ⟶ 𝑋 ↔ 𝐹 : { ∅ } ⟶ 𝑋 ) ) |
8 |
|
0ex |
⊢ ∅ ∈ V |
9 |
8
|
fsn2 |
⊢ ( 𝐹 : { ∅ } ⟶ 𝑋 ↔ ( ( 𝐹 ‘ ∅ ) ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = { 〈 ∅ , ( 𝐹 ‘ ∅ ) 〉 } ) ) |
10 |
|
opeq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ∅ ) → 〈 ∅ , 𝑥 〉 = 〈 ∅ , ( 𝐹 ‘ ∅ ) 〉 ) |
11 |
10
|
sneqd |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝐹 ‘ ∅ ) → { 〈 ∅ , 𝑥 〉 } = { 〈 ∅ , ( 𝐹 ‘ ∅ ) 〉 } ) |
12 |
11
|
rspceeqv |
⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ ∅ ) ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = { 〈 ∅ , ( 𝐹 ‘ ∅ ) 〉 } ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = { 〈 ∅ , 𝑥 〉 } ) |
13 |
9 12
|
sylbi |
⊢ ( 𝐹 : { ∅ } ⟶ 𝑋 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = { 〈 ∅ , 𝑥 〉 } ) |
14 |
8
|
a1i |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ V ) |
15 |
|
id |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
16 |
14 15
|
fsnd |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 → { 〈 ∅ , 𝑥 〉 } : { ∅ } ⟶ 𝑋 ) |
17 |
|
feq1 |
⊢ ( 𝐹 = { 〈 ∅ , 𝑥 〉 } → ( 𝐹 : { ∅ } ⟶ 𝑋 ↔ { 〈 ∅ , 𝑥 〉 } : { ∅ } ⟶ 𝑋 ) ) |
18 |
16 17
|
syl5ibrcom |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 → ( 𝐹 = { 〈 ∅ , 𝑥 〉 } → 𝐹 : { ∅ } ⟶ 𝑋 ) ) |
19 |
18
|
rexlimiv |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = { 〈 ∅ , 𝑥 〉 } → 𝐹 : { ∅ } ⟶ 𝑋 ) |
20 |
13 19
|
impbii |
⊢ ( 𝐹 : { ∅ } ⟶ 𝑋 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = { 〈 ∅ , 𝑥 〉 } ) |
21 |
20
|
a1i |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( 𝐹 : { ∅ } ⟶ 𝑋 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = { 〈 ∅ , 𝑥 〉 } ) ) |
22 |
5 7 21
|
3bitrd |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( 𝐹 ∈ ( 0 -aryF 𝑋 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = { 〈 ∅ , 𝑥 〉 } ) ) |