Metamath Proof Explorer


Theorem 2leaddle2

Description: If two real numbers are less than a third real number, the sum of the real numbers is less than twice the third real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018)

Ref Expression
Assertion 2leaddle2 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶 ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 2 · 𝐶 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 readdcl ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
2 1 3adant3 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
3 readdcl ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + 𝐶 ) ∈ ℝ )
4 3 anidms ( 𝐶 ∈ ℝ → ( 𝐶 + 𝐶 ) ∈ ℝ )
5 4 3ad2ant3 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + 𝐶 ) ∈ ℝ )
6 2re 2 ∈ ℝ
7 remulcl ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 2 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
8 6 7 mpan ( 𝐶 ∈ ℝ → ( 2 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
9 8 3ad2ant3 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 2 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
10 2 5 9 3jca ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 + 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 · 𝐶 ) ∈ ℝ ) )
11 10 adantr ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 + 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 · 𝐶 ) ∈ ℝ ) )
12 id ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) )
13 12 3adant3 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) )
14 id ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ )
15 14 14 jca ( 𝐶 ∈ ℝ → ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) )
16 15 3ad2ant3 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) )
17 13 16 jca ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) )
18 17 adantr ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) )
19 simpr ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶 ) )
20 lt2add ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶 ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐶 ) ) )
21 18 19 20 sylc ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐶 ) )
22 recn ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ )
23 22 2timesd ( 𝐶 ∈ ℝ → ( 2 · 𝐶 ) = ( 𝐶 + 𝐶 ) )
24 8 leidd ( 𝐶 ∈ ℝ → ( 2 · 𝐶 ) ≤ ( 2 · 𝐶 ) )
25 23 24 eqbrtrrd ( 𝐶 ∈ ℝ → ( 𝐶 + 𝐶 ) ≤ ( 2 · 𝐶 ) )
26 25 3ad2ant3 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + 𝐶 ) ≤ ( 2 · 𝐶 ) )
27 26 adantr ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝐶 + 𝐶 ) ≤ ( 2 · 𝐶 ) )
28 21 27 jca ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐶 ) ∧ ( 𝐶 + 𝐶 ) ≤ ( 2 · 𝐶 ) ) )
29 ltletr ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 + 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 · 𝐶 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐶 ) ∧ ( 𝐶 + 𝐶 ) ≤ ( 2 · 𝐶 ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 2 · 𝐶 ) ) )
30 11 28 29 sylc ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 2 · 𝐶 ) )
31 30 ex ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶 ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 2 · 𝐶 ) ) )