Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
2 |
1
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
3 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
4 |
3
|
anidms |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( 𝐶 + 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
5 |
4
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
6 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
7 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 2 · 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
8 |
6 7
|
mpan |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( 2 · 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
9 |
8
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 2 · 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
10 |
2 5 9
|
3jca |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 + 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 · 𝐶 ) ∈ ℝ ) ) |
11 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 + 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 · 𝐶 ) ∈ ℝ ) ) |
12 |
|
id |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ) |
13 |
12
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ) |
14 |
|
id |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ ) |
15 |
14 14
|
jca |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) |
16 |
15
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) |
17 |
13 16
|
jca |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) ) |
18 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) ) |
19 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) |
20 |
|
lt2add |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐶 ) ) ) |
21 |
18 19 20
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐶 ) ) |
22 |
|
recn |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ ) |
23 |
22
|
2timesd |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( 2 · 𝐶 ) = ( 𝐶 + 𝐶 ) ) |
24 |
8
|
leidd |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( 2 · 𝐶 ) ≤ ( 2 · 𝐶 ) ) |
25 |
23 24
|
eqbrtrrd |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( 𝐶 + 𝐶 ) ≤ ( 2 · 𝐶 ) ) |
26 |
25
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + 𝐶 ) ≤ ( 2 · 𝐶 ) ) |
27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝐶 + 𝐶 ) ≤ ( 2 · 𝐶 ) ) |
28 |
21 27
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐶 ) ∧ ( 𝐶 + 𝐶 ) ≤ ( 2 · 𝐶 ) ) ) |
29 |
|
ltletr |
⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 + 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 · 𝐶 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 𝐶 + 𝐶 ) ∧ ( 𝐶 + 𝐶 ) ≤ ( 2 · 𝐶 ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 2 · 𝐶 ) ) ) |
30 |
11 28 29
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 2 · 𝐶 ) ) |
31 |
30
|
ex |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) < ( 2 · 𝐶 ) ) ) |