Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3at.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
3at.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
3at.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
5 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) |
6 |
|
simp13l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 ) |
7 |
|
simp13r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 ) |
8 |
|
simp123 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
9 |
6 7 8
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) |
10 |
|
simp2l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) |
11 |
4
|
hllatd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
12 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
13 |
12 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
14 |
8 13
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
15 |
|
simp121 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
16 |
12 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
17 |
15 16
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
18 |
|
simp122 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
19 |
12 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
20 |
18 19
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
21 |
12 1 2
|
latnlej1l |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑅 ≠ 𝑃 ) |
22 |
11 14 17 20 10 21
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑅 ≠ 𝑃 ) |
23 |
22
|
necomd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑅 ) |
24 |
|
simp2r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 ) |
25 |
24
|
necomd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ≠ 𝑃 ) |
26 |
1 2 3
|
hlatexch1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑃 ) → ( 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) → 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) |
27 |
4 18 8 15 25 26
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) → 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) |
28 |
10 27
|
mtod |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) |
29 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) |
30 |
1 2 3
|
3atlem3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) |
31 |
4 5 9 10 23 28 29 30
|
syl331anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑅 ) ) |