Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3cyclfrgrrn1.v |
⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
3cyclfrgrrn1.e |
⊢ 𝐸 = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
3 |
1
|
fvexi |
⊢ 𝑉 ∈ V |
4 |
|
hashgt12el2 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ V ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝑉 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥 ) |
5 |
3 4
|
mp3an1 |
⊢ ( ( 1 < ( ♯ ‘ 𝑉 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥 ) |
6 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺 ∈ FriendGraph ) |
7 |
|
pm3.22 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ) ) |
8 |
7
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ) ) |
9 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → ( 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ) ) |
10 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝑎 ≠ 𝑥 ) |
11 |
1 2
|
3cyclfrgrrn1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ∃ 𝑐 ∈ 𝑉 ( { 𝑎 , 𝑏 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑏 , 𝑐 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑐 , 𝑎 } ∈ 𝐸 ) ) |
12 |
6 9 10 11
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ∃ 𝑐 ∈ 𝑉 ( { 𝑎 , 𝑏 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑏 , 𝑐 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑐 , 𝑎 } ∈ 𝐸 ) ) |
13 |
12
|
3exp1 |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑉 → ( 𝑎 ≠ 𝑥 → ( 𝑎 ∈ 𝑉 → ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ∃ 𝑐 ∈ 𝑉 ( { 𝑎 , 𝑏 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑏 , 𝑐 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑐 , 𝑎 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) ) |
14 |
13
|
rexlimiv |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑥 → ( 𝑎 ∈ 𝑉 → ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ∃ 𝑐 ∈ 𝑉 ( { 𝑎 , 𝑏 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑏 , 𝑐 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑐 , 𝑎 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
15 |
5 14
|
syl |
⊢ ( ( 1 < ( ♯ ‘ 𝑉 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑎 ∈ 𝑉 → ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ∃ 𝑐 ∈ 𝑉 ( { 𝑎 , 𝑏 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑏 , 𝑐 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑐 , 𝑎 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
16 |
15
|
expcom |
⊢ ( 𝑎 ∈ 𝑉 → ( 1 < ( ♯ ‘ 𝑉 ) → ( 𝑎 ∈ 𝑉 → ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ∃ 𝑐 ∈ 𝑉 ( { 𝑎 , 𝑏 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑏 , 𝑐 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑐 , 𝑎 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) ) |
17 |
16
|
pm2.43a |
⊢ ( 𝑎 ∈ 𝑉 → ( 1 < ( ♯ ‘ 𝑉 ) → ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ∃ 𝑐 ∈ 𝑉 ( { 𝑎 , 𝑏 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑏 , 𝑐 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑐 , 𝑎 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
18 |
17
|
com13 |
⊢ ( 𝐺 ∈ FriendGraph → ( 1 < ( ♯ ‘ 𝑉 ) → ( 𝑎 ∈ 𝑉 → ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ∃ 𝑐 ∈ 𝑉 ( { 𝑎 , 𝑏 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑏 , 𝑐 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑐 , 𝑎 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
19 |
18
|
imp |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝑉 ) ) → ( 𝑎 ∈ 𝑉 → ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ∃ 𝑐 ∈ 𝑉 ( { 𝑎 , 𝑏 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑏 , 𝑐 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑐 , 𝑎 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
20 |
19
|
ralrimiv |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝑉 ) ) → ∀ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ∃ 𝑐 ∈ 𝑉 ( { 𝑎 , 𝑏 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑏 , 𝑐 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝑐 , 𝑎 } ∈ 𝐸 ) ) |