Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3dvdsdec.a |
⊢ 𝐴 ∈ ℕ0 |
2 |
|
3dvdsdec.b |
⊢ 𝐵 ∈ ℕ0 |
3 |
|
3dvds2dec.c |
⊢ 𝐶 ∈ ℕ0 |
4 |
1 2
|
3dec |
⊢ ; ; 𝐴 𝐵 𝐶 = ( ( ( ( ; 1 0 ↑ 2 ) · 𝐴 ) + ( ; 1 0 · 𝐵 ) ) + 𝐶 ) |
5 |
|
sq10e99m1 |
⊢ ( ; 1 0 ↑ 2 ) = ( ; 9 9 + 1 ) |
6 |
5
|
oveq1i |
⊢ ( ( ; 1 0 ↑ 2 ) · 𝐴 ) = ( ( ; 9 9 + 1 ) · 𝐴 ) |
7 |
|
9nn0 |
⊢ 9 ∈ ℕ0 |
8 |
7 7
|
deccl |
⊢ ; 9 9 ∈ ℕ0 |
9 |
8
|
nn0cni |
⊢ ; 9 9 ∈ ℂ |
10 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
11 |
1
|
nn0cni |
⊢ 𝐴 ∈ ℂ |
12 |
9 10 11
|
adddiri |
⊢ ( ( ; 9 9 + 1 ) · 𝐴 ) = ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + ( 1 · 𝐴 ) ) |
13 |
11
|
mulid2i |
⊢ ( 1 · 𝐴 ) = 𝐴 |
14 |
13
|
oveq2i |
⊢ ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + ( 1 · 𝐴 ) ) = ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + 𝐴 ) |
15 |
6 12 14
|
3eqtri |
⊢ ( ( ; 1 0 ↑ 2 ) · 𝐴 ) = ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + 𝐴 ) |
16 |
|
9p1e10 |
⊢ ( 9 + 1 ) = ; 1 0 |
17 |
16
|
eqcomi |
⊢ ; 1 0 = ( 9 + 1 ) |
18 |
17
|
oveq1i |
⊢ ( ; 1 0 · 𝐵 ) = ( ( 9 + 1 ) · 𝐵 ) |
19 |
|
9cn |
⊢ 9 ∈ ℂ |
20 |
2
|
nn0cni |
⊢ 𝐵 ∈ ℂ |
21 |
19 10 20
|
adddiri |
⊢ ( ( 9 + 1 ) · 𝐵 ) = ( ( 9 · 𝐵 ) + ( 1 · 𝐵 ) ) |
22 |
20
|
mulid2i |
⊢ ( 1 · 𝐵 ) = 𝐵 |
23 |
22
|
oveq2i |
⊢ ( ( 9 · 𝐵 ) + ( 1 · 𝐵 ) ) = ( ( 9 · 𝐵 ) + 𝐵 ) |
24 |
18 21 23
|
3eqtri |
⊢ ( ; 1 0 · 𝐵 ) = ( ( 9 · 𝐵 ) + 𝐵 ) |
25 |
15 24
|
oveq12i |
⊢ ( ( ( ; 1 0 ↑ 2 ) · 𝐴 ) + ( ; 1 0 · 𝐵 ) ) = ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + 𝐴 ) + ( ( 9 · 𝐵 ) + 𝐵 ) ) |
26 |
25
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( ( ; 1 0 ↑ 2 ) · 𝐴 ) + ( ; 1 0 · 𝐵 ) ) + 𝐶 ) = ( ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + 𝐴 ) + ( ( 9 · 𝐵 ) + 𝐵 ) ) + 𝐶 ) |
27 |
9 11
|
mulcli |
⊢ ( ; 9 9 · 𝐴 ) ∈ ℂ |
28 |
19 20
|
mulcli |
⊢ ( 9 · 𝐵 ) ∈ ℂ |
29 |
|
add4 |
⊢ ( ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 9 · 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ) → ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + 𝐴 ) + ( ( 9 · 𝐵 ) + 𝐵 ) ) = ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + ( 9 · 𝐵 ) ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) ) |
30 |
29
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 9 · 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ) → ( ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + 𝐴 ) + ( ( 9 · 𝐵 ) + 𝐵 ) ) + 𝐶 ) = ( ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + ( 9 · 𝐵 ) ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) + 𝐶 ) ) |
31 |
27 11 28 20 30
|
mp4an |
⊢ ( ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + 𝐴 ) + ( ( 9 · 𝐵 ) + 𝐵 ) ) + 𝐶 ) = ( ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + ( 9 · 𝐵 ) ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) + 𝐶 ) |
32 |
27 28
|
addcli |
⊢ ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + ( 9 · 𝐵 ) ) ∈ ℂ |
33 |
11 20
|
addcli |
⊢ ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ |
34 |
3
|
nn0cni |
⊢ 𝐶 ∈ ℂ |
35 |
32 33 34
|
addassi |
⊢ ( ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + ( 9 · 𝐵 ) ) + ( 𝐴 + 𝐵 ) ) + 𝐶 ) = ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + ( 9 · 𝐵 ) ) + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ) |
36 |
|
9t11e99 |
⊢ ( 9 · ; 1 1 ) = ; 9 9 |
37 |
36
|
eqcomi |
⊢ ; 9 9 = ( 9 · ; 1 1 ) |
38 |
37
|
oveq1i |
⊢ ( ; 9 9 · 𝐴 ) = ( ( 9 · ; 1 1 ) · 𝐴 ) |
39 |
|
1nn0 |
⊢ 1 ∈ ℕ0 |
40 |
39 39
|
deccl |
⊢ ; 1 1 ∈ ℕ0 |
41 |
40
|
nn0cni |
⊢ ; 1 1 ∈ ℂ |
42 |
19 41 11
|
mulassi |
⊢ ( ( 9 · ; 1 1 ) · 𝐴 ) = ( 9 · ( ; 1 1 · 𝐴 ) ) |
43 |
38 42
|
eqtri |
⊢ ( ; 9 9 · 𝐴 ) = ( 9 · ( ; 1 1 · 𝐴 ) ) |
44 |
43
|
oveq1i |
⊢ ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + ( 9 · 𝐵 ) ) = ( ( 9 · ( ; 1 1 · 𝐴 ) ) + ( 9 · 𝐵 ) ) |
45 |
41 11
|
mulcli |
⊢ ( ; 1 1 · 𝐴 ) ∈ ℂ |
46 |
19 45 20
|
adddii |
⊢ ( 9 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) = ( ( 9 · ( ; 1 1 · 𝐴 ) ) + ( 9 · 𝐵 ) ) |
47 |
46
|
eqcomi |
⊢ ( ( 9 · ( ; 1 1 · 𝐴 ) ) + ( 9 · 𝐵 ) ) = ( 9 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) |
48 |
|
3t3e9 |
⊢ ( 3 · 3 ) = 9 |
49 |
48
|
eqcomi |
⊢ 9 = ( 3 · 3 ) |
50 |
49
|
oveq1i |
⊢ ( 9 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) = ( ( 3 · 3 ) · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) |
51 |
|
3cn |
⊢ 3 ∈ ℂ |
52 |
45 20
|
addcli |
⊢ ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ∈ ℂ |
53 |
51 51 52
|
mulassi |
⊢ ( ( 3 · 3 ) · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) = ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) |
54 |
50 53
|
eqtri |
⊢ ( 9 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) = ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) |
55 |
44 47 54
|
3eqtri |
⊢ ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + ( 9 · 𝐵 ) ) = ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) |
56 |
55
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + ( 9 · 𝐵 ) ) + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ) = ( ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ) |
57 |
31 35 56
|
3eqtri |
⊢ ( ( ( ( ; 9 9 · 𝐴 ) + 𝐴 ) + ( ( 9 · 𝐵 ) + 𝐵 ) ) + 𝐶 ) = ( ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ) |
58 |
4 26 57
|
3eqtri |
⊢ ; ; 𝐴 𝐵 𝐶 = ( ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ) |
59 |
58
|
breq2i |
⊢ ( 3 ∥ ; ; 𝐴 𝐵 𝐶 ↔ 3 ∥ ( ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ) ) |
60 |
|
3z |
⊢ 3 ∈ ℤ |
61 |
1
|
nn0zi |
⊢ 𝐴 ∈ ℤ |
62 |
2
|
nn0zi |
⊢ 𝐵 ∈ ℤ |
63 |
|
zaddcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℤ ) |
64 |
61 62 63
|
mp2an |
⊢ ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℤ |
65 |
3
|
nn0zi |
⊢ 𝐶 ∈ ℤ |
66 |
|
zaddcl |
⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ∈ ℤ ) |
67 |
64 65 66
|
mp2an |
⊢ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ∈ ℤ |
68 |
40
|
nn0zi |
⊢ ; 1 1 ∈ ℤ |
69 |
|
zmulcl |
⊢ ( ( ; 1 1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ) → ( ; 1 1 · 𝐴 ) ∈ ℤ ) |
70 |
68 61 69
|
mp2an |
⊢ ( ; 1 1 · 𝐴 ) ∈ ℤ |
71 |
|
zaddcl |
⊢ ( ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) → ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ∈ ℤ ) |
72 |
70 62 71
|
mp2an |
⊢ ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ∈ ℤ |
73 |
|
zmulcl |
⊢ ( ( 3 ∈ ℤ ∧ ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ∈ ℤ ) → ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ∈ ℤ ) |
74 |
60 72 73
|
mp2an |
⊢ ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ∈ ℤ |
75 |
|
zmulcl |
⊢ ( ( 3 ∈ ℤ ∧ ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ∈ ℤ ) → ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) ∈ ℤ ) |
76 |
60 74 75
|
mp2an |
⊢ ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) ∈ ℤ |
77 |
|
dvdsmul1 |
⊢ ( ( 3 ∈ ℤ ∧ ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ∈ ℤ ) → 3 ∥ ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) ) |
78 |
60 74 77
|
mp2an |
⊢ 3 ∥ ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) |
79 |
76 78
|
pm3.2i |
⊢ ( ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) ) |
80 |
|
dvdsadd2b |
⊢ ( ( 3 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ∈ ℤ ∧ ( ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) ) ) → ( 3 ∥ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ↔ 3 ∥ ( ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ) ) ) |
81 |
60 67 79 80
|
mp3an |
⊢ ( 3 ∥ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ↔ 3 ∥ ( ( 3 · ( 3 · ( ( ; 1 1 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ) ) + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ) ) |
82 |
59 81
|
bitr4i |
⊢ ( 3 ∥ ; ; 𝐴 𝐵 𝐶 ↔ 3 ∥ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶 ) ) |