Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ablsubadd.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
ablsubadd.p |
⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
ablsubadd.m |
⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
ablgrp |
⊢ ( 𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp ) |
5 |
4
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
6 |
|
simp2l |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
7 |
|
simp2r |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
8 |
1 2
|
grpcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
9 |
5 6 7 8
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
10 |
|
simp3l |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 ) |
11 |
|
simp3r |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 ) |
12 |
1 2
|
grpcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 + 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) |
13 |
5 10 11 12
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 + 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) |
14 |
1 2
|
grpcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
15 |
5 10 7 14
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
16 |
1 3
|
grpsubrcan |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑍 + 𝑊 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑍 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 𝑌 ) − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑍 + 𝑊 ) − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑋 + 𝑌 ) = ( 𝑍 + 𝑊 ) ) ) |
17 |
5 9 13 15 16
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 𝑌 ) − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑍 + 𝑊 ) − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑋 + 𝑌 ) = ( 𝑍 + 𝑊 ) ) ) |
18 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ Abel ) |
19 |
1 2 3
|
ablsub4 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑋 − 𝑍 ) + ( 𝑌 − 𝑌 ) ) ) |
20 |
18 6 7 10 7 19
|
syl122anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑋 − 𝑍 ) + ( 𝑌 − 𝑌 ) ) ) |
21 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝐺 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
22 |
1 21 3
|
grpsubid |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 − 𝑌 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
23 |
5 7 22
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑌 − 𝑌 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
24 |
23
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑍 ) + ( 𝑌 − 𝑌 ) ) = ( ( 𝑋 − 𝑍 ) + ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ) |
25 |
1 3
|
grpsubcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 − 𝑍 ) ∈ 𝐵 ) |
26 |
5 6 10 25
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 − 𝑍 ) ∈ 𝐵 ) |
27 |
1 2 21
|
grprid |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 − 𝑍 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 − 𝑍 ) + ( 0g ‘ 𝐺 ) ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) |
28 |
5 26 27
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑍 ) + ( 0g ‘ 𝐺 ) ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) |
29 |
20 24 28
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = ( 𝑋 − 𝑍 ) ) |
30 |
1 2 3
|
ablsub4 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑍 + 𝑊 ) − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑍 − 𝑍 ) + ( 𝑊 − 𝑌 ) ) ) |
31 |
18 10 11 10 7 30
|
syl122anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑍 + 𝑊 ) − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑍 − 𝑍 ) + ( 𝑊 − 𝑌 ) ) ) |
32 |
1 21 3
|
grpsubid |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 − 𝑍 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
33 |
5 10 32
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 − 𝑍 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
34 |
33
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑍 − 𝑍 ) + ( 𝑊 − 𝑌 ) ) = ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( 𝑊 − 𝑌 ) ) ) |
35 |
1 3
|
grpsubcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑊 − 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
36 |
5 11 7 35
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑊 − 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
37 |
1 2 21
|
grplid |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑊 − 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( 𝑊 − 𝑌 ) ) = ( 𝑊 − 𝑌 ) ) |
38 |
5 36 37
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( 𝑊 − 𝑌 ) ) = ( 𝑊 − 𝑌 ) ) |
39 |
31 34 38
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑍 + 𝑊 ) − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = ( 𝑊 − 𝑌 ) ) |
40 |
29 39
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 + 𝑌 ) − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑍 + 𝑊 ) − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑋 − 𝑍 ) = ( 𝑊 − 𝑌 ) ) ) |
41 |
17 40
|
bitr3d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) = ( 𝑍 + 𝑊 ) ↔ ( 𝑋 − 𝑍 ) = ( 𝑊 − 𝑌 ) ) ) |