Theorem ablsub4

Description: Commutative/associative subtraction law for Abelian groups. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010) (Revised by NM, 31-Mar-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
	ablsubadd.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 )
	ablsubadd.m	⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 )
Assertion	ablsub4	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) − ( 𝑍 + 𝑊 ) ) = ( ( 𝑋 − 𝑍 ) + ( 𝑌 − 𝑊 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		ablsubadd.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 )
3		ablsubadd.m	⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 )
4		ablgrp	⊢ ( 𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp )
5	4	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ Grp )
6		simp2l	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
7		simp2r	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
8	1 2	grpcl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
9	5 6 7 8	syl3anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
10		simp3l	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
11		simp3r	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
12	1 2	grpcl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 + 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
13	5 10 11 12	syl3anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 + 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
14		eqid	⊢ ( invg ‘ 𝐺 ) = ( invg ‘ 𝐺 )
15	1 2 14 3	grpsubval	⊢ ( ( ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑍 + 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) − ( 𝑍 + 𝑊 ) ) = ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑍 + 𝑊 ) ) ) )
16	9 13 15	syl2anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) − ( 𝑍 + 𝑊 ) ) = ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑍 + 𝑊 ) ) ) )
17		ablcmn	⊢ ( 𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd )
18	17	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ CMnd )
19		simp2	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) )
20	1 14	grpinvcl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
21	5 10 20	syl2anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
22	1 14	grpinvcl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
23	5 11 22	syl2anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
24	1 2	cmn4	⊢ ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑍 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + ( ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑍 ) + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑍 ) ) + ( 𝑌 + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑊 ) ) ) )
25	18 19 21 23 24	syl112anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + ( ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑍 ) + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑍 ) ) + ( 𝑌 + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑊 ) ) ) )
26		simp1	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ Abel )
27	1 2 14	ablinvadd	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑍 + 𝑊 ) ) = ( ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑍 ) + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑊 ) ) )
28	26 10 11 27	syl3anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑍 + 𝑊 ) ) = ( ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑍 ) + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑊 ) ) )
29	28	oveq2d	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑍 + 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + ( ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑍 ) + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑊 ) ) ) )
30	1 2 14 3	grpsubval	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 − 𝑍 ) = ( 𝑋 + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑍 ) ) )
31	6 10 30	syl2anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 − 𝑍 ) = ( 𝑋 + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑍 ) ) )
32	1 2 14 3	grpsubval	⊢ ( ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 − 𝑊 ) = ( 𝑌 + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑊 ) ) )
33	7 11 32	syl2anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑌 − 𝑊 ) = ( 𝑌 + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑊 ) ) )
34	31 33	oveq12d	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑍 ) + ( 𝑌 − 𝑊 ) ) = ( ( 𝑋 + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑍 ) ) + ( 𝑌 + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑊 ) ) ) )
35	25 29 34	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑍 + 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑋 − 𝑍 ) + ( 𝑌 − 𝑊 ) ) )
36	16 35	eqtrd	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) − ( 𝑍 + 𝑊 ) ) = ( ( 𝑋 − 𝑍 ) + ( 𝑌 − 𝑊 ) ) )