Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ablsubadd.b |
|- B = ( Base ` G ) |
2 |
|
ablsubadd.p |
|- .+ = ( +g ` G ) |
3 |
|
ablsubadd.m |
|- .- = ( -g ` G ) |
4 |
|
ablgrp |
|- ( G e. Abel -> G e. Grp ) |
5 |
4
|
3ad2ant1 |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Grp ) |
6 |
|
simp2l |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B ) |
7 |
|
simp2r |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B ) |
8 |
1 2
|
grpcl |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B ) |
9 |
5 6 7 8
|
syl3anc |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .+ Y ) e. B ) |
10 |
|
simp3l |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B ) |
11 |
|
simp3r |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B ) |
12 |
1 2
|
grpcl |
|- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( Z .+ W ) e. B ) |
13 |
5 10 11 12
|
syl3anc |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .+ W ) e. B ) |
14 |
1 2
|
grpcl |
|- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ Y e. B ) -> ( Z .+ Y ) e. B ) |
15 |
5 10 7 14
|
syl3anc |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .+ Y ) e. B ) |
16 |
1 3
|
grpsubrcan |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( X .+ Y ) e. B /\ ( Z .+ W ) e. B /\ ( Z .+ Y ) e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) ) ) |
17 |
5 9 13 15 16
|
syl13anc |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) ) ) |
18 |
|
simp1 |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Abel ) |
19 |
1 2 3
|
ablsub4 |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- Y ) ) ) |
20 |
18 6 7 10 7 19
|
syl122anc |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- Y ) ) ) |
21 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
22 |
1 21 3
|
grpsubid |
|- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .- Y ) = ( 0g ` G ) ) |
23 |
5 7 22
|
syl2anc |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .- Y ) = ( 0g ` G ) ) |
24 |
23
|
oveq2d |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- Y ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( 0g ` G ) ) ) |
25 |
1 3
|
grpsubcl |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) e. B ) |
26 |
5 6 10 25
|
syl3anc |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .- Z ) e. B ) |
27 |
1 2 21
|
grprid |
|- ( ( G e. Grp /\ ( X .- Z ) e. B ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( X .- Z ) ) |
28 |
5 26 27
|
syl2anc |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( X .- Z ) ) |
29 |
20 24 28
|
3eqtrd |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( X .- Z ) ) |
30 |
1 2 3
|
ablsub4 |
|- ( ( G e. Abel /\ ( Z e. B /\ W e. B ) /\ ( Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .- Z ) .+ ( W .- Y ) ) ) |
31 |
18 10 11 10 7 30
|
syl122anc |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .- Z ) .+ ( W .- Y ) ) ) |
32 |
1 21 3
|
grpsubid |
|- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( Z .- Z ) = ( 0g ` G ) ) |
33 |
5 10 32
|
syl2anc |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .- Z ) = ( 0g ` G ) ) |
34 |
33
|
oveq1d |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( Z .- Z ) .+ ( W .- Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( W .- Y ) ) ) |
35 |
1 3
|
grpsubcl |
|- ( ( G e. Grp /\ W e. B /\ Y e. B ) -> ( W .- Y ) e. B ) |
36 |
5 11 7 35
|
syl3anc |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( W .- Y ) e. B ) |
37 |
1 2 21
|
grplid |
|- ( ( G e. Grp /\ ( W .- Y ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( W .- Y ) ) = ( W .- Y ) ) |
38 |
5 36 37
|
syl2anc |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( W .- Y ) ) = ( W .- Y ) ) |
39 |
31 34 38
|
3eqtrd |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( W .- Y ) ) |
40 |
29 39
|
eqeq12d |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) <-> ( X .- Z ) = ( W .- Y ) ) ) |
41 |
17 40
|
bitr3d |
|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) <-> ( X .- Z ) = ( W .- Y ) ) ) |