Theorem anan

Description: Multiple commutations in conjunction. (Contributed by Peter Mazsa, 7-Mar-2020)

	Ref	Expression
Assertion	anan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ 𝜒 ) ∧ ( ( 𝜑 ∧ 𝜃 ) ∧ 𝜏 ) ) ↔ ( ( 𝜓 ∧ 𝜃 ) ∧ ( 𝜑 ∧ ( 𝜒 ∧ 𝜏 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ 𝜒 ) ∧ ( ( 𝜑 ∧ 𝜃 ) ∧ 𝜏 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜃 ) ) ∧ ( 𝜒 ∧ 𝜏 ) ) )
2		anandi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∧ 𝜃 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜃 ) ) )
3		ancom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∧ 𝜃 ) ) ↔ ( ( 𝜓 ∧ 𝜃 ) ∧ 𝜑 ) )
4	2 3	bitr3i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜃 ) ) ↔ ( ( 𝜓 ∧ 𝜃 ) ∧ 𝜑 ) )
5	4	anbi1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜃 ) ) ∧ ( 𝜒 ∧ 𝜏 ) ) ↔ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝜃 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝜒 ∧ 𝜏 ) ) )
6		anass	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝜃 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝜒 ∧ 𝜏 ) ) ↔ ( ( 𝜓 ∧ 𝜃 ) ∧ ( 𝜑 ∧ ( 𝜒 ∧ 𝜏 ) ) ) )
7	1 5 6	3bitri	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ 𝜒 ) ∧ ( ( 𝜑 ∧ 𝜃 ) ∧ 𝜏 ) ) ↔ ( ( 𝜓 ∧ 𝜃 ) ∧ ( 𝜑 ∧ ( 𝜒 ∧ 𝜏 ) ) ) )