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Theorem angmndaddeu4

Description: There exists a unique point s satisfying the conditions of angle addition. Case where both angles are zero angles. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026)

Ref Expression
Hypotheses angmndadd.p ⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
angmndadd.a ⊢ 𝐴 = { 𝑑 ∈ ( 𝑃 ↑m ( 0 ..^ 3 ) ) ∣ ( ( 𝑑 ‘ 0 ) ≠ ( 𝑑 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑑 ‘ 1 ) ≠ ( 𝑑 ‘ 2 ) ) }
angmndadd.i ⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
angmndadd.d ⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
angmndadd.c ⊢ ∼ = ( cgrA ‘ 𝐺 )
angmndadd.l ⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
angmndadd.g ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
angmndaddov.u ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃 )
angmndaddov.v ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃 )
angmndaddov.w ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃 )
angmndaddov.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
angmndaddov.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
angmndaddov.z ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
angmndaddeu.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉 )
angmndaddeu.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊 )
angmndaddeu.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌 )
angmndaddeu.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍 )
angmndaddeu4.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑍 )
angmndaddeu4.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑉 ) 𝑊 )
Assertion angmndaddeu4 ( 𝜑 → ∃! 𝑠 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 angmndadd.p ⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 angmndadd.a ⊢ 𝐴 = { 𝑑 ∈ ( 𝑃 ↑m ( 0 ..^ 3 ) ) ∣ ( ( 𝑑 ‘ 0 ) ≠ ( 𝑑 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑑 ‘ 1 ) ≠ ( 𝑑 ‘ 2 ) ) }
3 angmndadd.i ⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4 angmndadd.d ⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
5 angmndadd.c ⊢ ∼ = ( cgrA ‘ 𝐺 )
6 angmndadd.l ⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
7 angmndadd.g ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
8 angmndaddov.u ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃 )
9 angmndaddov.v ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃 )
10 angmndaddov.w ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃 )
11 angmndaddov.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
12 angmndaddov.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
13 angmndaddov.z ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
14 angmndaddeu.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉 )
15 angmndaddeu.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊 )
16 angmndaddeu.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌 )
17 angmndaddeu.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍 )
18 angmndaddeu4.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑍 )
19 angmndaddeu4.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑉 ) 𝑊 )
20 eqid ⊢ ( Itv ‘ 𝐺 ) = ( Itv ‘ 𝐺 )
21 eqid ⊢ ( hlG ‘ 𝐺 ) = ( hlG ‘ 𝐺 )
22 14 necomd ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑈 )
23 1 20 21 12 9 8 7 11 4 16 22 hlcgreu ⊢ ( 𝜑 → ∃! 𝑠 ∈ 𝑃 ( 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )
24 7 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
25 13 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 )
26 11 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
27 simpllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑠 ∈ 𝑃 )
28 12 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
29 1 3 21 11 13 12 7 18 hlcomd ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 )
30 29 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑍 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 )
31 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 )
32 1 3 21 27 26 28 24 31 hlcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑋 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑠 )
33 1 3 21 25 26 27 24 28 30 32 hltr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑍 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑠 )
34 19 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑈 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑉 ) 𝑊 )
35 9 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑉 ∈ 𝑃 )
36 1 5 21 24 33 34 28 35 zerocgra ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ )
37 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) )
38 36 37 jca ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )
39 38 anasss ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) ) → ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )
40 11 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
41 simpllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑠 ∈ 𝑃 )
42 12 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
43 7 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
44 13 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 )
45 18 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑋 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑍 )
46 8 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑈 ∈ 𝑃 )
47 9 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑉 ∈ 𝑃 )
48 10 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑊 ∈ 𝑃 )
49 5 a1i ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ∼ = ( cgrA ‘ 𝐺 ) )
50 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ )
51 49 50 breqdi ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ )
52 1 3 43 21 44 42 41 46 47 48 51 cgracom ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ )
53 19 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑈 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑉 ) 𝑊 )
54 1 3 4 43 46 47 48 44 42 41 52 21 53 cgrahl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑍 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑠 )
55 1 3 21 40 44 41 43 42 45 54 hltr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑋 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑠 )
56 1 3 21 40 41 42 43 55 hlcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 )
57 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) )
58 56 57 jca ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ( 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )
59 58 anasss ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) ) → ( 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )
60 39 59 impbida ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) ↔ ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) ) )
61 60 reubidva ⊢ ( 𝜑 → ( ∃! 𝑠 ∈ 𝑃 ( 𝑠 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑋 ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) ↔ ∃! 𝑠 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) ) )
62 23 61 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ∃! 𝑠 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )