Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ishlg.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
ishlg.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
ishlg.k |
⊢ 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
ishlg.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
5 |
|
ishlg.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
6 |
|
ishlg.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
hlln.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
8 |
|
hltr.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
9 |
|
hlcgrex.m |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
10 |
|
hlcgrex.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴 ) |
11 |
|
hlcgrex.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
12 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
hlcgrex |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |
13 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
14 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
15 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
16 |
7
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
17 |
8
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
18 |
10
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → 𝐷 ≠ 𝐴 ) |
19 |
11
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
20 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
21 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 ) |
22 |
|
simprll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ) |
23 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ) |
24 |
|
simprlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) |
25 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) |
26 |
1 2 3 13 14 15 16 17 9 18 19 20 21 22 23 24 25
|
hlcgreulem |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) |
27 |
26
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) |
28 |
27
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) |
29 |
28
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) |
30 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ↔ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ) ) |
31 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) |
32 |
31
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ↔ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |
33 |
30 32
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) |
34 |
33
|
reu4 |
⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ↔ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) ) |
35 |
12 29 34
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → ∃! 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |