Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ishlg.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
ishlg.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
ishlg.k |
⊢ 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
ishlg.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
5 |
|
ishlg.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
6 |
|
ishlg.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
hlln.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
8 |
|
hltr.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
9 |
|
hlcgrex.m |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
10 |
|
hlcgrex.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴 ) |
11 |
|
hlcgrex.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
12 |
7
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
13 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 ) |
14 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
15 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
16 |
6
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
17 |
1 9 2 12 13 14 15 16
|
axtgsegcon |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |
18 |
12
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
19 |
15
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
20 |
16
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
21 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
22 |
14
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
23 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) |
24 |
1 9 2 18 22 21 19 20 23
|
tgcgrcoml |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑥 − 𝐴 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) |
25 |
24
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝑥 − 𝐴 ) ) |
26 |
11
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
27 |
1 9 2 18 19 20 21 22 25 26
|
tgcgrneq |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝑥 ≠ 𝐴 ) |
28 |
10
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐷 ≠ 𝐴 ) |
29 |
13
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 ) |
30 |
8
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
31 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) |
32 |
31
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ≠ 𝑦 ) |
33 |
32
|
necomd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ≠ 𝐴 ) |
34 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ) |
35 |
31
|
simpld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ) |
36 |
1 9 2 18 30 22 29 35
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝐷 ) ) |
37 |
1 2 18 29 22 21 30 33 34 36
|
tgbtwnconn2 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐷 ) ∨ 𝐷 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑥 ) ) ) |
38 |
1 2 3 21 30 22 18
|
ishlg |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ↔ ( 𝑥 ≠ 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐷 ) ∨ 𝐷 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑥 ) ) ) ) ) |
39 |
27 28 37 38
|
mpbir3and |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ) |
40 |
39 23
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |
41 |
40
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) → ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) |
42 |
41
|
reximdva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) |
43 |
17 42
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |
44 |
1
|
fvexi |
⊢ 𝑃 ∈ V |
45 |
44
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ V ) |
46 |
45 5 6 11
|
nehash2 |
⊢ ( 𝜑 → 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) |
47 |
1 9 2 7 8 4 46
|
tgbtwndiff |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝐴 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝑦 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑦 ) ) |
48 |
43 47
|
r19.29a |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐴 ) 𝐷 ∧ ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |