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Theorem axcgrrflx

Description: A is as far from B as B is from A . Axiom A1 of Schwabhauser p. 10. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013)

Ref Expression
Assertion axcgrrflx ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fveecn ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℂ )
2 fveecn ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℂ )
3 sqsubswap ( ( ( 𝐴𝑖 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵𝑖 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴𝑖 ) − ( 𝐵𝑖 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐵𝑖 ) − ( 𝐴𝑖 ) ) ↑ 2 ) )
4 1 2 3 syl2an ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝐴𝑖 ) − ( 𝐵𝑖 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐵𝑖 ) − ( 𝐴𝑖 ) ) ↑ 2 ) )
5 4 anandirs ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴𝑖 ) − ( 𝐵𝑖 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐵𝑖 ) − ( 𝐴𝑖 ) ) ↑ 2 ) )
6 5 sumeq2dv ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴𝑖 ) − ( 𝐵𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵𝑖 ) − ( 𝐴𝑖 ) ) ↑ 2 ) )
7 id ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
8 simpr ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
9 simpl ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
10 brcgr ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴𝑖 ) − ( 𝐵𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵𝑖 ) − ( 𝐴𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) )
11 7 8 9 10 syl12anc ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ ↔ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴𝑖 ) − ( 𝐵𝑖 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵𝑖 ) − ( 𝐴𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) )
12 6 11 mpbird ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ )
13 12 3adant1 ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ Cgr ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ )