Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
2 |
1
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ ) |
3 |
|
id |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ ) |
4 |
2 3
|
zmulcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
5 |
4
|
peano2zd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ∈ ℤ ) |
6 |
|
bitsp1 |
⊢ ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 + 1 ) ∈ ( bits ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ) ↔ 𝑀 ∈ ( bits ‘ ( ⌊ ‘ ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
7 |
5 6
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 + 1 ) ∈ ( bits ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ) ↔ 𝑀 ∈ ( bits ‘ ( ⌊ ‘ ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
8 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
9 |
8
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ ) |
10 |
|
zre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
11 |
9 10
|
remulcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
recnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
13 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ ) |
14 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ ) |
15 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
16 |
15
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0 ) |
17 |
12 13 14 16
|
divdird |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 · 𝑁 ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) |
18 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
19 |
18 14 16
|
divcan3d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 2 · 𝑁 ) / 2 ) = 𝑁 ) |
20 |
19
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( ( 2 · 𝑁 ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) ) |
21 |
17 20
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) = ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) ) |
22 |
21
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ⌊ ‘ ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) ) ) |
23 |
|
halfge0 |
⊢ 0 ≤ ( 1 / 2 ) |
24 |
|
halflt1 |
⊢ ( 1 / 2 ) < 1 |
25 |
23 24
|
pm3.2i |
⊢ ( 0 ≤ ( 1 / 2 ) ∧ ( 1 / 2 ) < 1 ) |
26 |
|
halfre |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ |
27 |
|
flbi2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) ) = 𝑁 ↔ ( 0 ≤ ( 1 / 2 ) ∧ ( 1 / 2 ) < 1 ) ) ) |
28 |
26 27
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) ) = 𝑁 ↔ ( 0 ≤ ( 1 / 2 ) ∧ ( 1 / 2 ) < 1 ) ) ) |
29 |
25 28
|
mpbiri |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ⌊ ‘ ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) ) = 𝑁 ) |
30 |
22 29
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ⌊ ‘ ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) ) = 𝑁 ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ⌊ ‘ ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) ) = 𝑁 ) |
32 |
31
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( bits ‘ ( ⌊ ‘ ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) ) ) = ( bits ‘ 𝑁 ) ) |
33 |
32
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ ( ⌊ ‘ ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) ) ) ↔ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) ) |
34 |
7 33
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 + 1 ) ∈ ( bits ‘ ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ) ↔ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) ) |