Theorem blssp

Description: A ball in the subspace metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jan-2014)

	Ref	Expression
Hypothesis	blssp.2	⊢ 𝑁 = ( 𝑀 ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) )
Assertion	blssp	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑌 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑅 ) = ( ( 𝑌 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑅 ) ∩ 𝑆 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blssp.2	⊢ 𝑁 = ( 𝑀 ↾ ( 𝑆 × 𝑆 ) )
2		metxmet	⊢ ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) → 𝑀 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
3	2	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑀 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
4		simprl	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑌 ∈ 𝑆 )
5		simplr	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑆 ⊆ 𝑋 )
6		sseqin2	⊢ ( 𝑆 ⊆ 𝑋 ↔ ( 𝑋 ∩ 𝑆 ) = 𝑆 )
7	5 6	sylib	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑋 ∩ 𝑆 ) = 𝑆 )
8	4 7	eleqtrrd	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑋 ∩ 𝑆 ) )
9		rpxr	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ* )
10	9	ad2antll	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑅 ∈ ℝ* )
11	1	blres	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 ∩ 𝑆 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 𝑌 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑅 ) = ( ( 𝑌 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑅 ) ∩ 𝑆 ) )
12	3 8 10 11	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑌 ( ball ‘ 𝑁 ) 𝑅 ) = ( ( 𝑌 ( ball ‘ 𝑀 ) 𝑅 ) ∩ 𝑆 ) )