Theorem cdlemefr44

Description: Value of f(r) when r is an atom not under pq, using more compact hypotheses. TODO: eliminate and use cdlemefr45 instead? TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 31-Mar-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemef44.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemef44.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemef44.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemef44.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemef44.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemef44.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemef44.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
	cdlemef44.d	⊢ 𝐷 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
	cdlemef44.o	⊢ 𝑂 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐼 , ⦋ 𝑠 / 𝑡 ⦌ 𝐷 ) ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) ) )
	cdlemef44.f	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊 ) , 𝑂 , 𝑥 ) )
Assertion	cdlemefr44	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) = ⦋ 𝑅 / 𝑡 ⦌ 𝐷 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemef44.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemef44.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemef44.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemef44.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemef44.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemef44.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemef44.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
8		cdlemef44.d	⊢ 𝐷 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
9		cdlemef44.o	⊢ 𝑂 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐼 , ⦋ 𝑠 / 𝑡 ⦌ 𝐷 ) ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) ) )
10		cdlemef44.f	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊 ) , 𝑂 , 𝑥 ) )
11		eqid	⊢ ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) )
12		biid	⊢ ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ↔ 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
13		vex	⊢ 𝑠 ∈ V
14	8 11	cdleme31sc	⊢ ( 𝑠 ∈ V → ⦋ 𝑠 / 𝑡 ⦌ 𝐷 = ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
15	13 14	ax-mp	⊢ ⦋ 𝑠 / 𝑡 ⦌ 𝐷 = ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) )
16	12 15	ifbieq2i	⊢ if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐼 , ⦋ 𝑠 / 𝑡 ⦌ 𝐷 ) = if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐼 , ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
17		eqid	⊢ ( ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) )
18	1 2 3 4 5 6 7 11 16 9 10 17	cdlemefr31fv1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) = ( ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
19		simp2rl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
20	8 17	cdleme31sc	⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → ⦋ 𝑅 / 𝑡 ⦌ 𝐷 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
21	19 20	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ⦋ 𝑅 / 𝑡 ⦌ 𝐷 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
22	18 21	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) = ⦋ 𝑅 / 𝑡 ⦌ 𝐷 )