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Theorem cdlemg31b

Description: TODO: fix comment. (Contributed by NM, 29-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg12.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg12.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg12.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg12.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg12.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg12b.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg31.n 𝑁 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )
Assertion cdlemg31b ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → 𝑁 ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg12.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg12.m = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg12.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg12.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg12.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg12b.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemg31.n 𝑁 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )
9 simp1l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
10 9 hllatd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
11 simp2l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → 𝑃𝐴 )
12 simp3l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → 𝑣𝐴 )
13 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
14 13 2 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴 ) → ( 𝑃 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 9 11 12 14 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → ( 𝑃 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 simp2r ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → 𝑄𝐴 )
17 13 4 atbase ( 𝑄𝐴𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 16 17 syl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 simp1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
20 simp3r ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → 𝐹𝑇 )
21 13 5 6 7 trlcl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇 ) → ( 𝑅𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 19 20 21 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → ( 𝑅𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 13 2 latjcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24 10 18 22 23 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 13 1 3 latmle2 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )
26 10 15 24 25 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )
27 8 26 eqbrtrid ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → 𝑁 ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )