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Theorem cdlemkfid3N

Description: TODO: is this useful or should it be deleted? (Contributed by NM, 29-Jul-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
Assertion cdlemkfid3N ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐺 / 𝑔 𝑌 = ( 𝐺𝑃 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
11 simp22 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐺𝑇 )
12 10 cdlemk41 ( 𝐺𝑇 𝐺 / 𝑔 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) )
13 11 12 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐺 / 𝑔 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) )
14 simp1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) )
15 simp21l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐹𝑇 )
16 simp21r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
17 simp23l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝑏𝑇 )
18 simp31 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
19 simp33 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemkfid2N ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝑍 = ( 𝑏𝑃 ) )
21 14 15 16 17 18 19 20 syl132anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝑍 = ( 𝑏𝑃 ) )
22 21 oveq1d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) = ( ( 𝑏𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) )
23 22 oveq2d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( 𝑏𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) )
24 simp1l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
25 simp23r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
26 simp32 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) )
27 26 necomd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑏 ) )
28 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemkfid1N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑏 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( 𝑏𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) = ( 𝐺𝑃 ) )
29 24 17 25 11 27 19 28 syl132anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( 𝑏𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) = ( 𝐺𝑃 ) )
30 13 23 29 3eqtrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹 = 𝑁 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐺 / 𝑔 𝑌 = ( 𝐺𝑃 ) )