Theorem chj4

Description: Rearrangement of the join of 4 Hilbert lattice elements. (Contributed by NM, 15-Jun-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	chj4	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐶 ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chj12	⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) )
2	1	3expb	⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) )
3	2	adantll	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) )
4	3	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
5		chjcl	⊢ ( ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) → ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ∈ Cℋ )
6		chjass	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
7	6	3expa	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
8	5 7	sylan2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
9		chjcl	⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ∈ Cℋ )
10		chjass	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐶 ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
11	10	3expa	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐶 ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
12	9 11	sylan2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐶 ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
13	12	an4s	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐶 ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) ) )
14	4 8 13	3eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐷 ∈ Cℋ ) ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐶 ∨ℋ 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐶 ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐷 ) ) )