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Theorem cmnpropd

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a commutative monoid iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses ablpropd.1 ( 𝜑𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) )
ablpropd.2 ( 𝜑𝐵 = ( Base ‘ 𝐿 ) )
ablpropd.3 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑦𝐵 ) ) → ( 𝑥 ( +g𝐾 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( +g𝐿 ) 𝑦 ) )
Assertion cmnpropd ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ CMnd ↔ 𝐿 ∈ CMnd ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ablpropd.1 ( 𝜑𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) )
2 ablpropd.2 ( 𝜑𝐵 = ( Base ‘ 𝐿 ) )
3 ablpropd.3 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝐵𝑦𝐵 ) ) → ( 𝑥 ( +g𝐾 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 ( +g𝐿 ) 𝑦 ) )
4 1 2 3 mndpropd ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ Mnd ↔ 𝐿 ∈ Mnd ) )
5 3 oveqrspc2v ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢𝐵𝑣𝐵 ) ) → ( 𝑢 ( +g𝐾 ) 𝑣 ) = ( 𝑢 ( +g𝐿 ) 𝑣 ) )
6 3 oveqrspc2v ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣𝐵𝑢𝐵 ) ) → ( 𝑣 ( +g𝐾 ) 𝑢 ) = ( 𝑣 ( +g𝐿 ) 𝑢 ) )
7 6 ancom2s ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢𝐵𝑣𝐵 ) ) → ( 𝑣 ( +g𝐾 ) 𝑢 ) = ( 𝑣 ( +g𝐿 ) 𝑢 ) )
8 5 7 eqeq12d ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢𝐵𝑣𝐵 ) ) → ( ( 𝑢 ( +g𝐾 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐾 ) 𝑢 ) ↔ ( 𝑢 ( +g𝐿 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐿 ) 𝑢 ) ) )
9 8 2ralbidva ( 𝜑 → ( ∀ 𝑢𝐵𝑣𝐵 ( 𝑢 ( +g𝐾 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐾 ) 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑢𝐵𝑣𝐵 ( 𝑢 ( +g𝐿 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐿 ) 𝑢 ) ) )
10 1 raleqdv ( 𝜑 → ( ∀ 𝑣𝐵 ( 𝑢 ( +g𝐾 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐾 ) 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ( +g𝐾 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐾 ) 𝑢 ) ) )
11 1 10 raleqbidv ( 𝜑 → ( ∀ 𝑢𝐵𝑣𝐵 ( 𝑢 ( +g𝐾 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐾 ) 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∀ 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ( +g𝐾 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐾 ) 𝑢 ) ) )
12 2 raleqdv ( 𝜑 → ( ∀ 𝑣𝐵 ( 𝑢 ( +g𝐿 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐿 ) 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐿 ) ( 𝑢 ( +g𝐿 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐿 ) 𝑢 ) ) )
13 2 12 raleqbidv ( 𝜑 → ( ∀ 𝑢𝐵𝑣𝐵 ( 𝑢 ( +g𝐿 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐿 ) 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝐿 ) ∀ 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐿 ) ( 𝑢 ( +g𝐿 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐿 ) 𝑢 ) ) )
14 9 11 13 3bitr3d ( 𝜑 → ( ∀ 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∀ 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ( +g𝐾 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐾 ) 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝐿 ) ∀ 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐿 ) ( 𝑢 ( +g𝐿 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐿 ) 𝑢 ) ) )
15 4 14 anbi12d ( 𝜑 → ( ( 𝐾 ∈ Mnd ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∀ 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ( +g𝐾 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐾 ) 𝑢 ) ) ↔ ( 𝐿 ∈ Mnd ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝐿 ) ∀ 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐿 ) ( 𝑢 ( +g𝐿 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐿 ) 𝑢 ) ) ) )
16 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
17 eqid ( +g𝐾 ) = ( +g𝐾 )
18 16 17 iscmn ( 𝐾 ∈ CMnd ↔ ( 𝐾 ∈ Mnd ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∀ 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ( 𝑢 ( +g𝐾 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐾 ) 𝑢 ) ) )
19 eqid ( Base ‘ 𝐿 ) = ( Base ‘ 𝐿 )
20 eqid ( +g𝐿 ) = ( +g𝐿 )
21 19 20 iscmn ( 𝐿 ∈ CMnd ↔ ( 𝐿 ∈ Mnd ∧ ∀ 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝐿 ) ∀ 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐿 ) ( 𝑢 ( +g𝐿 ) 𝑣 ) = ( 𝑣 ( +g𝐿 ) 𝑢 ) ) )
22 15 18 21 3bitr4g ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ CMnd ↔ 𝐿 ∈ CMnd ) )