Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cncff |
⊢ ( 𝑓 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) → 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
2 |
1
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) ) → 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
3 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) ) → 𝐵 ⊆ 𝐶 ) |
4 |
2 3
|
fssd |
⊢ ( ( ( 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) ) → 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐶 ) |
5 |
|
cncffvrn |
⊢ ( ( 𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) ) → ( 𝑓 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐶 ) ↔ 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐶 ) ) |
6 |
5
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) ) → ( 𝑓 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐶 ) ↔ 𝑓 : 𝐴 ⟶ 𝐶 ) ) |
7 |
4 6
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐶 ) ) |
8 |
7
|
ex |
⊢ ( ( 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ) → ( 𝑓 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) → 𝑓 ∈ ( 𝐴 –cn→ 𝐶 ) ) ) |
9 |
8
|
ssrdv |
⊢ ( ( 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ) → ( 𝐴 –cn→ 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 –cn→ 𝐶 ) ) |