Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elcnv2 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ◡ ∪ 𝐴 ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ ∪ 𝐴 ) ) |
2 |
|
eluni2 |
⊢ ( 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) |
3 |
2
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ ∪ 𝐴 ) ↔ ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ) |
4 |
|
r19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ↔ ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ) |
5 |
3 4
|
bitr4i |
⊢ ( ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ ∪ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ) |
6 |
5
|
2exbii |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ ∪ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ) |
7 |
|
elcnv2 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ◡ 𝑥 ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ) |
8 |
7
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ ◡ 𝑥 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ) |
9 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ) |
10 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ) |
11 |
10
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ) |
12 |
8 9 11
|
3bitrri |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑦 = 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∈ 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ ◡ 𝑥 ) |
13 |
1 6 12
|
3bitri |
⊢ ( 𝑦 ∈ ◡ ∪ 𝐴 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ ◡ 𝑥 ) |
14 |
|
eliun |
⊢ ( 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ◡ 𝑥 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ ◡ 𝑥 ) |
15 |
13 14
|
bitr4i |
⊢ ( 𝑦 ∈ ◡ ∪ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ◡ 𝑥 ) |
16 |
15
|
eqriv |
⊢ ◡ ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ◡ 𝑥 |