Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elcnv2 |
|- ( y e. `' U. A <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) ) |
2 |
|
eluni2 |
|- ( <. w , z >. e. U. A <-> E. x e. A <. w , z >. e. x ) |
3 |
2
|
anbi2i |
|- ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) ) |
4 |
|
r19.42v |
|- ( E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) ) |
5 |
3 4
|
bitr4i |
|- ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) ) |
6 |
5
|
2exbii |
|- ( E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) ) |
7 |
|
elcnv2 |
|- ( y e. `' x <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) ) |
8 |
7
|
rexbii |
|- ( E. x e. A y e. `' x <-> E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) ) |
9 |
|
rexcom4 |
|- ( E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) ) |
10 |
|
rexcom4 |
|- ( E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) ) |
11 |
10
|
exbii |
|- ( E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) ) |
12 |
8 9 11
|
3bitrri |
|- ( E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. x e. A y e. `' x ) |
13 |
1 6 12
|
3bitri |
|- ( y e. `' U. A <-> E. x e. A y e. `' x ) |
14 |
|
eliun |
|- ( y e. U_ x e. A `' x <-> E. x e. A y e. `' x ) |
15 |
13 14
|
bitr4i |
|- ( y e. `' U. A <-> y e. U_ x e. A `' x ) |
16 |
15
|
eqriv |
|- `' U. A = U_ x e. A `' x |