Theorem congsym

Description: Congruence mod A is a symmetric/commutative relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014)

	Ref	Expression
Assertion	congsym	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐶 − 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐵 − 𝐶 ) )
2		zcn	⊢ ( 𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ )
3	2	ad2antrl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ∈ ℂ )
4		zcn	⊢ ( 𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ )
5	4	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
6	3 5	negsubdi2d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → - ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) )
7	1 6	breqtrrd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ∥ - ( 𝐶 − 𝐵 ) )
8		simpll	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ∈ ℤ )
9		simprl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ∈ ℤ )
10		simplr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐵 ∈ ℤ )
11	9 10	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℤ )
12		dvdsnegb	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ∥ ( 𝐶 − 𝐵 ) ↔ 𝐴 ∥ - ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
13	8 11 12	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝐴 ∥ ( 𝐶 − 𝐵 ) ↔ 𝐴 ∥ - ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
14	7 13	mpbird	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐶 − 𝐵 ) )