Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cvlatexch.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
cvlatexch.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
cvlatexch.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ CvLat ) |
5 |
|
simp21 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
6 |
|
simp23 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
7 |
|
simp22 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
8 |
|
simp3l |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 ) |
9 |
1 2 3
|
cvlatexchb1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) |
10 |
4 5 6 7 8 9
|
syl131anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) |
11 |
10
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) |
12 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ CvLat ) |
13 |
|
cvllat |
⊢ ( 𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat ) |
14 |
12 13
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
15 |
|
simpl21 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
16 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
17 |
16 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
18 |
15 17
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
19 |
|
simpl22 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
20 |
16 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
21 |
19 20
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
22 |
16 2
|
latjcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) ) |
23 |
14 18 21 22
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) ) |
24 |
1 2 3
|
cvlatexchb2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) |
25 |
24
|
3adant3l |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) |
26 |
25
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) |
27 |
11 23 26
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) |
28 |
27
|
ex |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) ) |