Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cxplt3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐶 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) < ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) ) |
2 |
1
|
ancom2s |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐶 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) < ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) ) |
3 |
2
|
notbid |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) → ( ¬ 𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) < ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) ) |
4 |
|
lenlt |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵 ) ) |
5 |
4
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵 ) ) |
6 |
|
rpcxpcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ∈ ℝ+ ) |
7 |
6
|
ad2ant2rl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ∈ ℝ+ ) |
8 |
|
rpcxpcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) ∈ ℝ+ ) |
9 |
8
|
ad2ant2r |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) ∈ ℝ+ ) |
10 |
|
rpre |
⊢ ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ∈ ℝ+ → ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
11 |
|
rpre |
⊢ ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) ∈ ℝ+ → ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
12 |
|
lenlt |
⊢ ( ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) ↔ ¬ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) < ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) ) |
13 |
10 11 12
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ∈ ℝ+ ∧ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) ↔ ¬ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) < ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) ) |
14 |
7 9 13
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) ↔ ¬ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) < ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) ) |
15 |
3 5 14
|
3bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 1 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 ↑𝑐 𝐵 ) ) ) |