Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-eqvrel |
⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅 ) ) |
2 |
|
refsymrel2 |
⊢ ( ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ) ↔ ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ) ∧ Rel 𝑅 ) ) |
3 |
|
dftrrel2 |
⊢ ( TrRel 𝑅 ↔ ( ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅 ) ) |
4 |
2 3
|
anbi12i |
⊢ ( ( ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ) ∧ TrRel 𝑅 ) ↔ ( ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ) ∧ Rel 𝑅 ) ∧ ( ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅 ) ) ) |
5 |
|
df-3an |
⊢ ( ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅 ) ↔ ( ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ) ∧ TrRel 𝑅 ) ) |
6 |
|
df-3an |
⊢ ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ) ↔ ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ) ∧ ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ) ) |
7 |
6
|
anbi1i |
⊢ ( ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ) ∧ Rel 𝑅 ) ↔ ( ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ) ∧ ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ) ∧ Rel 𝑅 ) ) |
8 |
|
3anan32 |
⊢ ( ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ) ∧ Rel 𝑅 ∧ ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ) ↔ ( ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ) ∧ ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ) ∧ Rel 𝑅 ) ) |
9 |
|
anandi3r |
⊢ ( ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ) ∧ Rel 𝑅 ∧ ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ) ↔ ( ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ) ∧ Rel 𝑅 ) ∧ ( ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅 ) ) ) |
10 |
7 8 9
|
3bitr2i |
⊢ ( ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ) ∧ Rel 𝑅 ) ↔ ( ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ) ∧ Rel 𝑅 ) ∧ ( ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅 ) ) ) |
11 |
4 5 10
|
3bitr4i |
⊢ ( ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅 ) ↔ ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ) ∧ Rel 𝑅 ) ) |
12 |
1 11
|
bitri |
⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ( ( ( I ↾ dom 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ◡ 𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ) ∧ Rel 𝑅 ) ) |