Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dip0r.1 |
⊢ 𝑋 = ( BaseSet ‘ 𝑈 ) |
2 |
|
dip0r.5 |
⊢ 𝑍 = ( 0vec ‘ 𝑈 ) |
3 |
|
dip0r.7 |
⊢ 𝑃 = ( ·𝑖OLD ‘ 𝑈 ) |
4 |
1 2
|
nvzcl |
⊢ ( 𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋 ) |
5 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → 𝑍 ∈ 𝑋 ) |
6 |
|
eqid |
⊢ ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) = ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) |
7 |
|
eqid |
⊢ ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) = ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) |
8 |
|
eqid |
⊢ ( normCV ‘ 𝑈 ) = ( normCV ‘ 𝑈 ) |
9 |
1 6 7 8 3
|
ipval2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 𝑃 𝑍 ) = ( ( ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) |
10 |
5 9
|
mpd3an3 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 𝑃 𝑍 ) = ( ( ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) |
11 |
|
neg1cn |
⊢ - 1 ∈ ℂ |
12 |
7 2
|
nvsz |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ - 1 ∈ ℂ ) → ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) = 𝑍 ) |
13 |
11 12
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑈 ∈ NrmCVec → ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) = 𝑍 ) |
14 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) = 𝑍 ) |
15 |
14
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) = ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) |
16 |
15
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) = ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) |
17 |
16
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) ) |
18 |
17
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
19 |
1 6 7 8 3
|
ipval2lem3 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
20 |
5 19
|
mpd3an3 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
21 |
20
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
22 |
21
|
subidd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) ) = 0 ) |
23 |
18 22
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) = 0 ) |
24 |
|
negicn |
⊢ - i ∈ ℂ |
25 |
7 2
|
nvsz |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ - i ∈ ℂ ) → ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) = 𝑍 ) |
26 |
24 25
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑈 ∈ NrmCVec → ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) = 𝑍 ) |
27 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
28 |
7 2
|
nvsz |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ) → ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) = 𝑍 ) |
29 |
27 28
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑈 ∈ NrmCVec → ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) = 𝑍 ) |
30 |
26 29
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝑈 ∈ NrmCVec → ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) = ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) = ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) |
32 |
31
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) = ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) |
33 |
32
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) = ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ) |
34 |
33
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) |
35 |
34
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
36 |
1 6 7 8 3
|
ipval2lem4 |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ) ∧ i ∈ ℂ ) → ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
37 |
27 36
|
mpan2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
38 |
5 37
|
mpd3an3 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
39 |
38
|
subidd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) = 0 ) |
40 |
35 39
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) = 0 ) |
41 |
40
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( i · ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( i · 0 ) ) |
42 |
23 41
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) = ( 0 + ( i · 0 ) ) ) |
43 |
|
it0e0 |
⊢ ( i · 0 ) = 0 |
44 |
43
|
oveq2i |
⊢ ( 0 + ( i · 0 ) ) = ( 0 + 0 ) |
45 |
|
00id |
⊢ ( 0 + 0 ) = 0 |
46 |
44 45
|
eqtri |
⊢ ( 0 + ( i · 0 ) ) = 0 |
47 |
42 46
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) = 0 ) |
48 |
47
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) / 4 ) = ( 0 / 4 ) ) |
49 |
|
4cn |
⊢ 4 ∈ ℂ |
50 |
|
4ne0 |
⊢ 4 ≠ 0 |
51 |
49 50
|
div0i |
⊢ ( 0 / 4 ) = 0 |
52 |
48 51
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( normCV ‘ 𝑈 ) ‘ ( 𝐴 ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) ( - i ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑍 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) / 4 ) = 0 ) |
53 |
10 52
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 𝑃 𝑍 ) = 0 ) |