Theorem dnibndlem1

Description: Lemma for dnibnd . (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	dnibndlem1.1	⊢ 𝑇 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝑥 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝑥 ) ) )
	dnibndlem1.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
	dnibndlem1.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
Assertion	dnibndlem1	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ( 𝑇 ‘ 𝐵 ) − ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) ) ≤ 𝑆 ↔ ( abs ‘ ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) ≤ 𝑆 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem1.1	⊢ 𝑇 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝑥 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝑥 ) ) )
2		dnibndlem1.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
3		dnibndlem1.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
4	1	dnival	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 𝑇 ‘ 𝐵 ) = ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) )
5	3 4	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑇 ‘ 𝐵 ) = ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) )
6	1	dnival	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) = ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) )
7	2 6	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) = ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) )
8	5 7	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑇 ‘ 𝐵 ) − ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) )
9	8	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( 𝑇 ‘ 𝐵 ) − ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) )
10	9	breq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ( 𝑇 ‘ 𝐵 ) − ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) ) ≤ 𝑆 ↔ ( abs ‘ ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) ≤ 𝑆 ) )