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Theorem dnibndlem2

Description: Lemma for dnibnd . (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021)

Ref Expression
Hypotheses dnibndlem2.1 𝑇 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝑥 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝑥 ) ) )
dnibndlem2.2 ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ )
dnibndlem2.3 ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ )
dnibndlem2.4 ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) )
Assertion dnibndlem2 ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( 𝑇𝐵 ) − ( 𝑇𝐴 ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dnibndlem2.1 𝑇 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝑥 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝑥 ) ) )
2 dnibndlem2.2 ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ )
3 dnibndlem2.3 ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ )
4 dnibndlem2.4 ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) )
5 halfre ( 1 / 2 ) ∈ ℝ
6 5 a1i ( 𝜑 → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
7 3 6 jca ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) )
8 readdcl ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
9 7 8 syl ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
10 reflcl ( ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ )
11 9 10 syl ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ )
12 11 recnd ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
13 3 recnd ( 𝜑𝐵 ∈ ℂ )
14 12 13 subcld ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ∈ ℂ )
15 14 abscld ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
16 15 recnd ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ∈ ℂ )
17 4 12 eqeltrrd ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
18 2 recnd ( 𝜑𝐴 ∈ ℂ )
19 17 18 subcld ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ∈ ℂ )
20 19 abscld ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ∈ ℝ )
21 20 recnd ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ∈ ℂ )
22 16 21 subcld ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ )
23 22 abscld ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℝ )
24 14 19 subcld ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ∈ ℂ )
25 24 abscld ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ )
26 13 18 subcld ( 𝜑 → ( 𝐵𝐴 ) ∈ ℂ )
27 26 abscld ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) ∈ ℝ )
28 14 19 abs2difabsd ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) )
29 12 18 13 nnncan1d ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) = ( 𝐵𝐴 ) )
30 29 eqcomd ( 𝜑 → ( 𝐵𝐴 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) )
31 30 fveq2d ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) )
32 4 oveq1d ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) = ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) )
33 32 oveq1d ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) )
34 33 fveq2d ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) )
35 19 14 abssubd ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) )
36 31 34 35 3eqtrd ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) )
37 27 leidd ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) )
38 36 37 eqbrtrrd ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) )
39 23 25 27 28 38 letrd ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) )
40 1 2 3 dnibndlem1 ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ( 𝑇𝐵 ) − ( 𝑇𝐴 ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) ) )
41 39 40 mpbird ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( 𝑇𝐵 ) − ( 𝑇𝐴 ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐵𝐴 ) ) )