Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dnibndlem2.1 |
⊢ 𝑇 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝑥 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝑥 ) ) ) |
2 |
|
dnibndlem2.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
3 |
|
dnibndlem2.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
4 |
|
dnibndlem2.4 |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) ) |
5 |
|
halfre |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ |
6 |
5
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
7 |
3 6
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) ) |
8 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
9 |
7 8
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
10 |
|
reflcl |
⊢ ( ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
11 |
9 10
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
13 |
3
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
14 |
12 13
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
15 |
14
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
16 |
15
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
17 |
4 12
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
18 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
19 |
17 18
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
20 |
19
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
21 |
20
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
22 |
16 21
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
23 |
22
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
24 |
14 19
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
25 |
24
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ) |
26 |
13 18
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
27 |
26
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
28 |
14 19
|
abs2difabsd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) |
29 |
12 18 13
|
nnncan1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
30 |
29
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) |
31 |
30
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) ) |
32 |
4
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) = ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) |
33 |
32
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) |
34 |
33
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) ) |
35 |
19 14
|
abssubd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) |
36 |
31 34 35
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) |
37 |
27
|
leidd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
38 |
36 37
|
eqbrtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
39 |
23 25 27 28 38
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
40 |
1 2 3
|
dnibndlem1 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( ( 𝑇 ‘ 𝐵 ) − ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ) |
41 |
39 40
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( 𝑇 ‘ 𝐵 ) − ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |