Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dnibndlem3.1 |
⊢ 𝑇 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝑥 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝑥 ) ) ) |
2 |
|
dnibndlem3.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
3 |
|
dnibndlem3.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
4 |
|
dnibndlem3.4 |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) + 1 ) ) |
5 |
3
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
6 |
|
halfre |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ |
7 |
6
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
8 |
3 7
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) ) |
9 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
10 |
8 9
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
11 |
|
reflcl |
⊢ ( ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
12 |
10 11
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
13 |
12
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
14 |
|
halfcn |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ |
15 |
14
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) |
16 |
13 15
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
17 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
18 |
5 16 17
|
3jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) ) |
19 |
|
npncan |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) − 𝐴 ) ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
20 |
18 19
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) − 𝐴 ) ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
21 |
20
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( ( 𝐵 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) − 𝐴 ) ) ) |
22 |
4
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) + 1 ) − ( 1 / 2 ) ) ) |
23 |
2 7
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) ) |
24 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
25 |
23 24
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
26 |
|
reflcl |
⊢ ( ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
27 |
25 26
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
28 |
27
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
29 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ ) |
30 |
28 29 15
|
3jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) ) |
31 |
|
addsubass |
⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) + 1 ) − ( 1 / 2 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
32 |
30 31
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) + 1 ) − ( 1 / 2 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
33 |
|
1mhlfehlf |
⊢ ( 1 − ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) |
34 |
33
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 − ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) ) |
35 |
34
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 − ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) |
36 |
22 32 35
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) |
37 |
36
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) − 𝐴 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) − 𝐴 ) ) |
38 |
37
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) − 𝐴 ) ) = ( ( 𝐵 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) − 𝐴 ) ) ) |
39 |
21 38
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( ( 𝐵 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) − 𝐴 ) ) ) |
40 |
39
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐵 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) − 𝐴 ) ) ) ) |