Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
id |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ ) |
2 |
|
halfre |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ |
3 |
2
|
a1i |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
4 |
1 3
|
readdcld |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
5 |
|
flle |
⊢ ( ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ≤ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) |
6 |
4 5
|
syl |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ≤ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) |
7 |
|
reflcl |
⊢ ( ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
8 |
4 7
|
syl |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
9 |
8 3 1
|
lesubaddd |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ≤ 𝐵 ↔ ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ≤ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ) |
10 |
6 9
|
mpbird |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ≤ 𝐵 ) |
11 |
8 3
|
jca |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) ) |
12 |
|
resubcl |
⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
13 |
11 12
|
syl |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
14 |
1 13
|
subge0d |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 0 ≤ ( 𝐵 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ) ↔ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ≤ 𝐵 ) ) |
15 |
10 14
|
mpbird |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ ( 𝐵 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) |